Revisión del 17:43 16 mar 2025

1 Introducción Y Enfoque

2 Ecuación Del Calor

Consideremos la ecuación del calor en una dimensión:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\kappa}{Q\rho} \Delta u = \frac{1}{Q}f, \quad x \in (0,L), \quad t \gt 0, [/math]

donde [math] u(x,t) [/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición, y [math] \frac{\kappa}{Q\rho} [/math] es la difusividad térmica del material que se expresa en términos de la conductividad térmica ([math] \kappa [/math]), la densidad del material ([math] \rho [/math]) y el calor específico ([math] Q [/math]).

Las [math] \textbf{condiciones de Dirichlet} [/math] establecen valores fijos de temperatura en los extremos:

[math] u(0,t) = T_0, \quad u(L,t) = T_L, \quad t \gt 0. [/math]

Además, necesitamos una [math] \textbf{condición inicial} [/math] que defina la temperatura en [math] t = 0: [/math]

[math] u(x,0) = f(x), \quad x \in (0,L). [/math]

3 Modelización De La Ecuación Del Calor Para Condiciones Dirichlet

La ecuación del calor se deriva de la [math] \textbf{ley de Fourier} [/math] y el [math] \textbf{principio de conservación de la energía} [/math]. Deduzcamosla paso a paso.

3.1 Ley de Fourier

La Ley de Fourier establece que el flujo de calor [math] (\vec{q}) [/math] es proporcional al gradiente de temperatura:

3.2 Corolario del Principio de Conservación de la Energía

La tasa de variación de la energía de un volumen [math] V [/math] de longitud infinitesimal en una barra es igual al balance neto de la energía que fluye por su frontera [math] \partial V [/math] junto con la producción por fuerzas externas que pueden aparecen por reacciones químicas.

3.3 Modelización de la Ecuación del Calor

4 Motivación y enfoque

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si nos lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos tales como:

• [math]\textbf{Gestión térmica en electrónica:}[/math] donde permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos;
• [math]\textbf{Climatología:}[/math] donde se emplea para estudiar la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos;
• [math]\textbf{Biología:}[/math] donde describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En nuestro caso, plantearemos el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas, y así jugaremos modelizando distintas situaciones, tales como la de dadas unas condiciones de tipo Dirichlet en la frontera y una condición inicial fijadas, usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) ó aplicar calor en el en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

5 Planteamiento del sistema de EDP con condiciones Dirichlet en 1D

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es independiente del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

[math] u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math]

donde: \( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier. \( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos: [math] \alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math] donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

[math] \begin{cases} u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t \gt 0 \\ u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\ u(0,t) = u_1, & t \gt 0 \\ u(L,t) = u_2, & t \gt 0 \end{cases} [/math]

6 Resolvamos la ecuación aplicando separación de variables

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

[math] v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x) [/math]

Integrando dos veces:

[math] v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2 [/math]

Imponiendo las condiciones de contorno:

[math] \begin{cases} v(0) = u_1 \\ v(L) = u_2 \end{cases} [/math]

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

[math] w_t - \alpha w_{xx} = 0 [/math] con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

[math] w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{\sqrt{\alpha}n\pi}{L}x \right) e^{- \frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} t} [/math]