Revisión del 13:32 16 mar 2025

1 Introducción

La ecuación del calor es un modelo matemático que describe la difusión térmica en un medio. En una dimensión, se expresa como:

donde [math]u(x,t)[/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición.

Resolveremos un problema específico utilizando la solución fundamental:

permitiéndonos analizar la propagación del calor en una región no acotada e interpretar los resultados.

2 Mensaje secreto en la ecuación del calor

Imaginamos que escribimos un mensaje secreto en una barra de metal infinita usando calor. Definimos la temperatura en el instante inicial

es decir, el mensaje inicial está formado por letras dibujadas en el eje [math]x[/math] con calor. Con el tiempo, el calor empieza a difundirse según la ecuación [math]u_t-u_{xx}=0[/math]. Su solución viene dada por la convolución:

Implementamos en Python la solución para diferentes instantes.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros
L = 10.0  # Longitud de la barra
T = 0.1   # Tiempo final
nx = 100  # Número de puntos en el espacio
nt = 1000 # Número de puntos en el tiempo
alpha = 1 # Coeficiente de difusión térmica

dx = L / (nx - 1)
dt = T / (nt - 1)
r = alpha * dt / dx**2

# Inicialización
x = np.linspace(0, L, nx)
u = np.zeros(nx)

# Condición inicial
def initial_condition(x):
    # Definir las regiones de las letras
    if 2 < x < 3 or 4 < x < 5:
        return 5
    else:
        return 0

u = np.array([initial_condition(xi) for xi in x])

# Evolución temporal
for t in range(nt):
    un = u.copy()
    for i in range(1, nx-1):
        u[i] = un[i] + r * (un[i+1] - 2*un[i] + un[i-1])

    # Visualización en tiempos específicos
    if t in [int(0.001/dt), int(0.01/dt), int(0.1/dt)]:
        plt.plot(x, u, label=f't={t*dt:.3f}')

plt.xlabel('Posición x')
plt.ylabel('Temperatura u(x,t)')
plt.title('Difusión térmica del mensaje')
plt.legend()
plt.show()

Difusión del mensaje en la barra de metal

Así, se obtiene la siguiente gráfica. En ella podemos observar que conforme avanza el tiempo, la difusión del calor hace que los bordes de las letras pierdan definición. Al inicio, las regiones calientes se distinguen claramente, pero poco a poco el calor se extiende a las áreas frías, suavizando los contornos. A medida que esta difusión continúa, las letras se vuelven borrosas hasta que el contraste desaparece por completo y el mensaje se vuelve ilegible, ya que la temperatura se ha distribuido de manera uniforme en la barra.

3 Cambio en las condiciones iniciales

Consideremos ahora la temperatura inicial de la barra como una combinación de dos funciones características en intervalos diferentes. Definimos [math]u_0(x) = 1_{[0,1]} + 1_{[2,3]}[/math]. Es decir, la temperatura inicial es 1 en los intervalos [0,1] y [2,3] y es 0 en el resto de la barra. Veamos como la distancia entre los dos picos iniciales afecta a la difusión del calor.

4 Regularidad y dimensiones

Vamos a explorar que ocurre al pasar de una dimensión (1D) a dos dimensiones (2D), analizando como la difusión del calor se dispersa más rápido en 2D debido a la propagación en múltiples direcciones.

Actualmente, hemos estado trabajando en 1D, donde la ecuación del calor viene dada por [math]u_t-u_{xx}=0.[/math]. En cuanto a la regularidad, sabemos que dicha ecuación tiene un efecto regularizador, es decir, aunque la condición inicial tenga discontinuidades, la solución se vuelve suave para [math]t\gt0\ltmath\gt. Por otro lado, la difusión en 1D ocurre a lo largo de una sola dirección (el eje \ltmath\gtx\ltmath\gt) y la solución se suaviza rápidamente con el tiempo. Veamos que ocurre en 2D. Ahora, nuestra ecuación es \ltmath\gtu_t-u_{xx}-u_{yy}=0[/math]. La temperatura inicial se define ahora como:

Aquí, el efecto regularizador del que hablábamos sigue presente. En cambio, la rapidez con la que se suaviza la solución puede variar. En dimensiones superiores la difusión ocurre en múltiples direcciones, lo que hará que se suavice más rápido. En general, a mayor dimensión, más rápido se dispersa el calor, ya que hay mas direcciones hacia las que puede propagarse.

FALTA AÑADIR GRÁFICAS DE LA DIFUSIÓN EN 2D VIENDO COMO SE EXTIENDE EN TODAS LAS DIRECCIONES DEL PLANO