Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»
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Revisión del 12:01 16 mar 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 . Introducción
La ecuación del calor clásica es una herramienta crucial para los ingenieros y físicos. Ahora bien, esta ecuación plantea un serio problema conocido como la paradoja de la velocidad de propagación. En este trabajo estudiaremos estefenómeno y plantearemos una solución, apoyándonos en un ejemplo concreto.
2 . Problema concreto
Consideramos el siguiente problema: Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [0, 1] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. En el extremo derecho se consigue mantener la temperatura a 10oC mientras que en el izquierdo la temperatura es siempre de 1°C. Además, la temperatura en el instante inicial viene dada por la función [math] u_0 (x)= 10-10 \cdot 1_{[1/3,2/3]} [/math] . Así, el sistema que modeliza este problema es el siguiente:
Su solución estacionaria es:
y la solución general es:
donde [math] b_n [/math] es una constante de la forma:
3 . Paradoja de la velocidad de propagación
Observamos que, en nuestra solución, para [math]t\gt0[/math] la solución es estrictamente positiva. Sin embargo, en [math]t=0[/math] observamos que para el intervalo [math] x \in [1/3,2/3][/math] la temperatura es cero. Esto contradice la teoría de la relatividad de Einstein, ya que podemos tomar un valor [math]t\gt0[/math] arbitrariamente pequeño de manera que la temperatura sea no nula, lo cual no es posible bajo la teoría de la relatividad. Este fenómeno se conoce como la paradoja de la velocidad de propagación del calor.
3.1 . Ecuación de Cattaneo-Vernotte
Para solucionar esta aparente falla en nuestro modelo, Cattaneo propuso una solución modificando la Ley de Fourier de la siguiente manera:
[math]q=-k\nabla u \rightarrow q+ \tau \frac{\partial q}{\partial t} =k\nabla u[/math]
Añadimos el factor [math] \tau \frac{\partial q}{\partial t} [/math] a la Ley de Fourier, donde [math]\tau[/math] se conoce como el término de relajación térmica. De esta manera, se modela un retardo en la respuesta de flujo de calor a los cambios de la temperatura. Si ahora aplicamos la conservación de la energía, nos queda la conocida ecuación hiperbólica:
[math] \frac{\partial u}{\partial t} + \tau \frac{\partial^{2}u}{\partial t} = \alpha \nabla u [/math]
donde [math] \alpha [/math] es la difusividad térmica.
Esta nueva ecuación garantiza que la velocidad de propagación del calor se produzca con velocidad finita, por lo que se utiliza en modelos donde el efecto de propagación instantánea tiene importancia.
