Revisión del 10:12 16 mar 2025

1 . Introducción

La ecuación del calor clásica es una herramienta crucial para los ingenieros y
físicos. Ahora bien, esta ecuación plantea un serio problema conocido como la
paradoja de la velocidad de propagación. En este trabajo estudiaremos este
fenómeno y plantearemos una solución, apoyándonos en un ejemplo concreto.

2 . Problema concreto

Consideramos el siguiente problema: Hay una varilla unidimensional en el inter

valo [0,1]. Su temperatura en el extremo derecho se mantiene a 10ºC, mientras

que en el izquierdo es de 1ºC.

3 . Paradoja de la velocidad de propagación

Observamos que, en nuestra solución, para [math]t\gt0[/math] la solución es estrictamente positiva. Sin embargo, para [math]t=0[/math] observamos que para el intervalo [math] x \in [1/3,2/3][/math] la temperatura es cero. Esto contradice la teoría de la relatividad de Einstein, ya que podemos tomar un valor [math]t\gt0[/math] arbitrariamente pequeño de manera que la temperatura sea no nula, lo cual no es posible bajo la teoría de la relatividad. Este fenómeno se conoce como la paradoja de la velocidad de propagación del calor.

3.1 . Ecuación de Cattaneo-Vernotte

Para solucionar esta aparente falla en nuestro modelo, Cattaneo propuso una solución modificando la Ley de Fourier de la siguiente manera:

[math]q=-k\nabla u \rightarrow q+ \tau \frac{\partial q}{\partial t} =k\nabla u[/math]

Añadimos el factor [math] \tau \frac{\partial q}{\partial t} [/math] a la Ley de Fourier, donde [math]\tau[/math] se conoce como el término de relajación térmica. De esta manera, se modela un retardo en la respuesta de flujo de calor a los cambios de la temperatura. Si ahora aplicamos la conservación de la energía, nos queda la conocida ecuación hiperbólica:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} + \tau \frac{\partial^{2}u}{\partial t} = \alpha \nabla u [/math]

donde [math] \alpha [/math] es la difusividad térmica.

4 . Referencias