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| | {{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}} | | {{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}} |
| − | = Problema =
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| − | Se tiene la ecuación de difusión:
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| − | <center><math> u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>
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| − |
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| − | con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:
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| − |
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| − | <center><math>
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| − | \begin{aligned}
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| − | u(0,t) &= 1, \quad &t > 0 \\
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| − | u(1,t) &= 10, \quad &t > 0 \\
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| − | u(x,0) &= 10, \quad &x \in (0,1)
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| − | \end{aligned}
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| − | </math><center>
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| − |
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| − | = Cálculo de la solución estacionaria =
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| − |
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| − | Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \begin{aligned}
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| − |
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| − | v''(x) &= 0
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| − | \end{aligned}
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| − | </math>
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| − |
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| − | con las condiciones de frontera:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \begin{aligned}
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| − | v(0) &= 1 \\
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| − | v(1) &= 10
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| − | \end{aligned}
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | Por lo tanto, la solución estacionaria es:
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| − |
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| − | <center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center>
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| − |
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| − | = Resolviendo la ecuación homogénea =
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| − |
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| − | Se introduce el cambio de variable:
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| − | <center><math> w(x,t) = u(x,t) - v(x) </math></center>
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| − |
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| − | De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea:
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| − |
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| − | <center><math> w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 </math></center>
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| − |
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| − | Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:
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| − |
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| − | <center><math> w(0,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
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| − | <center><math> w(1,t) = 0, \quad t > 0 </math></center>
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| − | <center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center>
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| − |
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| − | = Resolviendo por separación de variables =
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| − |
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| − | Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>:
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| − | <center><math> w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>
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| − |
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| − | Donde los coeficientes de Fourier son:
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| − |
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| − | <center><math> B_n = \frac{18}{n\pi} </math></center>
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| − | Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es:
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| − |
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| − | <center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>
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| − |
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| − | = Nota sobre la función inicial =
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| − | Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:
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| − |
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| − | <center><math>
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| − | \tilde{g}(x) =
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| − | \begin{cases}
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| − | -9x + 9, & x \in (0,1) \\
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| − | -9x - 9, & x \in (-1,0)
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| − | \end{cases}
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| − | </math></center>
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| − |
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| − | Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución.
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| − | Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:
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| − | <center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>
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| − |
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| − | == ==
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| − | <center>
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| − | <math> u_t - u_{xx} = 0 </math>
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| − | </center>
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| − |
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| − | <center>
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| − | <math> u(0,t) = 1 </math>,
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| − | <math> u(1,t) = 10 </math>
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| − | </center>
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| − |
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| − | <center>
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| − | <math> u(x,0) = 10 - 10 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi k} \sin(k\pi x) </math>
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| − | </center>
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| − |
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| − | <center>
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| − | <math> w = u - v </math>
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| − | </center>
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| − |
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| − | <center>
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| − | <math> v''(x) = 0 </math>
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| − | </center>
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| − |
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| − | <center>
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| − | <math> v(0) = 1 </math>
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| − | <math> v(1) = 10 </math>
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| − | </center>
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| − |
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| − | <center>
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| − | <math> v(x) = 9x + 1 </math>
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| − | </center>
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| − | <center>
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| − | <math> w_t - w_{xx} = 0 </math>
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| − | </center>
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| − | <center>
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| − | <math> w(0,t) = 0 </math>,
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| − | <math> w(1,t) = 0 </math>
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| − | </center>
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| − | <center>
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| − | <math> w(x,0) = -9x + 9 - 10 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi k} \sin(k\pi x) </math>
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| − | </center>
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