Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»
(→Problema) |
(→Cálculo de la solución estacionaria) |
||
| Línea 20: | Línea 20: | ||
Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface: | Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface: | ||
| − | <center><math> v''(x) = 0 </math></center> | + | </center><math> v''(x) = 0 </math></center> |
con las condiciones de frontera: | con las condiciones de frontera: | ||
| Línea 36: | Línea 36: | ||
<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center> | <center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center> | ||
| − | Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito. | + | Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito. |
= Resolviendo la ecuación homogénea = | = Resolviendo la ecuación homogénea = | ||
Revisión del 13:36 15 mar 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Problema
Se tiene la ecuación de difusión:
con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:
2 Cálculo de la solución estacionaria
Para encontrar la solución estacionaria [math] v(x) [/math], se asume que cuando [math] t \to \infty [/math], la solución [math] u(x,t) [/math] se estabiliza y tiende a una función [math] v(x) [/math] que satisface:
con las condiciones de frontera:
Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos [math] v(x) = ax + b [/math]. Sustituyendo las condiciones de frontera:
Por lo tanto, la solución estacionaria es:
Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.
3 Resolviendo la ecuación homogénea
Se introduce el cambio de variable:
De esta manera, [math] w(x,t) [/math] satisface la ecuación de calor homogénea:
Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:
4 Resolviendo por separación de variables
Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para [math] w(x,t) [/math]:
Donde los coeficientes de Fourier son:
Finalmente, la solución general para [math] u(x,t) [/math] es:
5 Nota sobre la función inicial
Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:
Dado que [math] \tilde{g}(x) [/math] es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en [math] x=0 [/math], asegurando la convergencia de la solución.
Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:
