Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»

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Se tiene la ecuación de difusión: 
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con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales: 
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= Cálculo de la solución estacionaria = 
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Para encontrar la solución estacionaria <math> v(x) </math>, se asume que cuando <math> t \to \infty </math>, la solución <math> u(x,t) </math> se estabiliza y tiende a una función <math> v(x) </math> que satisface: 
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Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos <math> v(x) = ax + b </math>. Sustituyendo las condiciones de frontera: 
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Por lo tanto, la solución estacionaria es: 
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<center><math> v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) </math></center> 
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Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito. 
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= Resolviendo la ecuación homogénea = 
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Se introduce el cambio de variable: 
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De esta manera, <math> w(x,t) </math> satisface la ecuación de calor homogénea: 
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Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en: 
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<center><math> w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) </math></center> 
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= Resolviendo por separación de variables = 
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Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para <math> w(x,t) </math>: 
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Donde los coeficientes de Fourier son: 
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Finalmente, la solución general para <math> u(x,t) </math> es: 
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= Nota sobre la función inicial = 
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Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial: 
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\tilde{g}(x) =
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\begin{cases}
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-9x + 9, & x \in (0,1) \\
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-9x - 9, & x \in (-1,0)
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Dado que <math> \tilde{g}(x) </math> es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en <math> x=0 </math>, asegurando la convergencia de la solución. 
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Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es: 
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<center><math> u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) </math></center>

Revisión del 13:33 15 mar 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura EDP
Curso 2024-25
Autores Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Problema

Se tiene la ecuación de difusión:

[math] u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t \gt 0 [/math]

con las siguientes condiciones de frontera y condiciones iniciales:

[math] u(0,t) = 1, \quad t \gt 0 [/math]
[math] u(1,t) = 10, \quad t \gt 0 [/math]
[math] u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1) [/math]

2 Cálculo de la solución estacionaria

Para encontrar la solución estacionaria [math] v(x) [/math], se asume que cuando [math] t \to \infty [/math], la solución [math] u(x,t) [/math] se estabiliza y tiende a una función [math] v(x) [/math] que satisface:

[math] v''(x) = 0 [/math]

con las condiciones de frontera:

[math] v(0) = 1 [/math]
[math] v(1) = 10 [/math]

Resolviendo la ecuación diferencial, tomamos [math] v(x) = ax + b [/math]. Sustituyendo las condiciones de frontera:

[math] v(0) = b = 1 [/math]
[math] v(1) = a + 1 = 10 \Rightarrow a = 9 [/math]

Por lo tanto, la solución estacionaria es:

[math] v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) [/math]

Esta función representa el estado estable de la temperatura en la barra cuando el tiempo tiende a infinito.

3 Resolviendo la ecuación homogénea

Se introduce el cambio de variable:

[math] w(x,t) = u(x,t) - v(x) [/math]

De esta manera, [math] w(x,t) [/math] satisface la ecuación de calor homogénea:

[math] w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t \gt 0 [/math]

Las condiciones de frontera e iniciales se transforman en:

[math] w(0,t) = 0, \quad t \gt 0 [/math]
[math] w(1,t) = 0, \quad t \gt 0 [/math]
[math] w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) [/math]

4 Resolviendo por separación de variables

Aplicando separación de variables y la serie de Fourier, se obtiene la solución para [math] w(x,t) [/math]:

[math] w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) [/math]

Donde los coeficientes de Fourier son:

[math] B_n = \frac{18}{n\pi} [/math]

Finalmente, la solución general para [math] u(x,t) [/math] es:

[math] u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) [/math]

5 Nota sobre la función inicial

Para calcular la serie de Fourier, se considera la extensión impar de la función inicial:

[math] \tilde{g}(x) = \begin{cases} -9x + 9, & x \in (0,1) \\ -9x - 9, & x \in (-1,0) \end{cases} [/math]

Dado que [math] \tilde{g}(x) [/math] es impar, su desarrollo de Fourier se mantiene en [math] x=0 [/math], asegurando la convergencia de la solución.

Por lo tanto, la solución final de la ecuación de calor con las condiciones dadas es:

[math] u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) [/math]
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