Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»

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	== Problema ==		== Problema ==
−	Se tiene la ecuación de difusión:	+	== Ecuación de Calor con Condiciones de Contorno de Dirichlet ==
−	<u>∂u/∂t - ∂²u/∂x² = 0</u>, para \( x \) en el intervalo (0,1) y \( t > 0 \).	+	=== Planteamiento del Problema ===
		+	Necesitamos resolver el siguiente sistema:
		+	* $u_t - u_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
		+	* $u(0,t) = 1$ para $t > 0$
		+	* $u(1,t) = 10$ para $t > 0$
		+	* $u(x,0) = 10$ para $x \in (0,1)$
−	Las condiciones de frontera e iniciales son:	+	=== Solución Estacionaria ===
		+	La solución estacionaria $v(x)$ cuando $t \rightarrow \infty$ satisface:
		+	* $v''(x) = 0$
		+	* $v(0) = 1$
		+	* $v(1) = 10$
−	* \( u(0,t) = 1 \), para \( t > 0 \).	+	Esto nos da $v(x) = ax + b$ donde $a,b \in \mathbb{R}$
−	* \( u(1,t) = 10 \), para \( t > 0 \).	+	De las condiciones de contorno:
−	* \( u(x,0) = 10 \), para \( x \in (0,1) \).	+	* $v(0) = b = 1$
		+	* $v(1) = a + 1 = 10$, por lo tanto $a = 9$
		+
		+	Por tanto, $v(x) = 9x + 1$ para $x \in (0,1)$
		+
		+	=== Cambio de Variable ===
		+	Hacemos el cambio de variable dependiente $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$, luego $w$ es solución de:
		+	* $w_t - w_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
		+	* $w(0,t) = 0$ para $t > 0$
		+	* $w(1,t) = 0$ para $t > 0$
		+	* $w(x,0) = -9x + 9$ para $x \in (0,1)$
		+
		+	=== Solución por Separación de Variables ===
		+	Resolvemos por separación de variables, obteniendo:
		+	$w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
		+
		+	Luego, $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ donde $B_n = \frac{18}{n\pi}$
		+
		+	Por tanto, la solución completa es:
		+	$u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$

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Revisión del 13:29 15 mar 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Problema

2 Ecuación de Calor con Condiciones de Contorno de Dirichlet

2.1 Planteamiento del Problema

Necesitamos resolver el siguiente sistema:

• $u_t - u_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
• $u(0,t) = 1$ para $t > 0$
• $u(1,t) = 10$ para $t > 0$
• $u(x,0) = 10$ para $x \in (0,1)$

2.2 Solución Estacionaria

La solución estacionaria $v(x)$ cuando $t \rightarrow \infty$ satisface:

• $v(x) = 0$
• $v(0) = 1$
• $v(1) = 10$

Esto nos da $v(x) = ax + b$ donde $a,b \in \mathbb{R}$ De las condiciones de contorno:

• $v(0) = b = 1$
• $v(1) = a + 1 = 10$, por lo tanto $a = 9$

Por tanto, $v(x) = 9x + 1$ para $x \in (0,1)$

2.3 Cambio de Variable

Hacemos el cambio de variable dependiente $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$, luego $w$ es solución de:

• $w_t - w_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
• $w(0,t) = 0$ para $t > 0$
• $w(1,t) = 0$ para $t > 0$
• $w(x,0) = -9x + 9$ para $x \in (0,1)$

2.4 Solución por Separación de Variables

Resolvemos por separación de variables, obteniendo: $w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$

Luego, $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ donde $B_n = \frac{18}{n\pi}$

Por tanto, la solución completa es: $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$