Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»

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{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
 
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== Planteamiento del problema ==
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== Problema ==
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Se tiene el siguiente sistema:
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Se obtiene el sistema:
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=== Condiciones iniciales y de frontera ===
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u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
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* Ecuación del calor:
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  : \( u_t - u_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 \)
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u(0,t) = 1, \quad t > 0
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* Condiciones de frontera:
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  : \( u(0,t) = 1 \quad t > 0 \)
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  : \( u(1,t) = 10 \quad t > 0 \)
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u(1,t) = 10, \quad t > 0
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* Condición inicial:
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  : \( u(x,0) = 10 \quad x \in (0,1) \)
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u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1)
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== Solución estacionaria ==
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Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \) de la forma \( u(x,t) = v(x) + w(x,t) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( w \to 0 \) y \( v \) será solución de:
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* \( v''(x) = 0 \)
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* \( v(0) = 1 \)
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* \( v(1) = 10 \)
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== Solución Estacionaria ==
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Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( u(x,t) \to v(x) \) y \( v \) será solución de:
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v''(x) = 0
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v(0) = 1
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v(1) = 10
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Resolviendo:
 
Resolviendo:
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* \( v(x) = ax + b \)
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v(x) = ax + b, \quad a, b \in \mathbb{R}
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Donde \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), por lo que \( a = 9 \), entonces:
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Dado que \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), obtenemos \( a = 9 \), por lo que:
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* \( v(x) = 9x + 1 \quad x \in (0,1) \)
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v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1)
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== Resolución de la ecuación homogénea ==
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Realizamos el cambio de variable \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), con lo que el sistema queda:
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Graficamos esta solución.
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* \( w_t - w_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 \)
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* \( w(0,t) = 0 \quad t > 0 \)
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* \( w(1,t) = 0 \quad t > 0 \)
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* \( w(x,0) = -9x + 9 \quad x \in (0,1) \)
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Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:
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* \( w(x,t) = \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)
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Por lo que la solución completa es:
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* \( u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)
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Calculando \( B_n \):
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* \( B_n = \frac{18}{n \pi} \)
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== Resolviendo ==
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Se realiza el cambio de variable:
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w(x,t) = u(x,t) - v(x)
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Entonces, el sistema se transforma en:
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w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0
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w(0,t) = 0, \quad t > 0
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w(1,t) = 0, \quad t > 0
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w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1)
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Por lo que la solución final queda expresada como:
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== Resolviendo por Separación de Variables ==
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Se obtiene:
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w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
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u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x), \quad x \in (0,1), \quad t > 0
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Donde:
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B_n = \frac{18}{n\pi}
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* \( u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{18}{n \pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)
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== Nota ==
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Se usa la extensión impar de:
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\tilde{g}(x) =
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\begin{cases}
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-9x + 9, & x \in (0,1) \\
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-9x - 9, & x \in (-1,0)
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\end{cases}
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\(\tilde{g}(x)\) es impar y no cambia puntualmente su desarrollo de Fourier en \( x = 0 \). Así, la solución final es:
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u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x)
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Revisión del 13:22 15 mar 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura EDP
Curso 2024-25
Autores Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Problema

Se obtiene el sistema: \[ u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 \] \[ u(0,t) = 1, \quad t > 0 \] \[ u(1,t) = 10, \quad t > 0 \] \[ u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1) \]

2 Solución Estacionaria

Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( u(x,t) \to v(x) \) y \( v \) será solución de: \[ v(x) = 0 \] \[ v(0) = 1 \] \[ v(1) = 10 \] Resolviendo: \[ v(x) = ax + b, \quad a, b \in \mathbb{R} \] Dado que \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), obtenemos \( a = 9 \), por lo que: \[ v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) \] Graficamos esta solución.

3 Resolviendo

Se realiza el cambio de variable: \[ w(x,t) = u(x,t) - v(x) \] Entonces, el sistema se transforma en: \[ w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 \] \[ w(0,t) = 0, \quad t > 0 \] \[ w(1,t) = 0, \quad t > 0 \] \[ w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) \]

4 Resolviendo por Separación de Variables

Se obtiene: \[ w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) \] \[ u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x), \quad x \in (0,1), \quad t > 0 \] Donde: \[ B_n = \frac{18}{n\pi} \]

5 Nota

Se usa la extensión impar de: \[ \tilde{g}(x) = \begin{cases} -9x + 9, & x \in (0,1) \\ -9x - 9, & x \in (-1,0) \end{cases} \] \(\tilde{g}(x)\) es impar y no cambia puntualmente su desarrollo de Fourier en \( x = 0 \). Así, la solución final es: \[ u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) \]

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