Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»
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Se tiene el siguiente sistema: | Se tiene el siguiente sistema: | ||
| − | + | === Condiciones iniciales y de frontera === | |
| + | * Ecuación del calor: | ||
| + | : \( u_t - u_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 \) | ||
| − | + | * Condiciones de frontera: | |
| − | : | + | : \( u(0,t) = 1 \quad t > 0 \) |
| + | : \( u(1,t) = 10 \quad t > 0 \) | ||
| − | + | * Condición inicial: | |
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== Solución estacionaria == | == Solución estacionaria == | ||
Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \) de la forma \( u(x,t) = v(x) + w(x,t) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( w \to 0 \) y \( v \) será solución de: | Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \) de la forma \( u(x,t) = v(x) + w(x,t) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( w \to 0 \) y \( v \) será solución de: | ||
| − | + | * \( v''(x) = 0 \) | |
| − | + | * \( v(0) = 1 \) | |
| − | + | * \( v(1) = 10 \) | |
Resolviendo: | Resolviendo: | ||
| − | + | * \( v(x) = ax + b \) | |
Donde \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), por lo que \( a = 9 \), entonces: | Donde \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), por lo que \( a = 9 \), entonces: | ||
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| + | * \( v(x) = 9x + 1 \quad x \in (0,1) \) | ||
== Resolución de la ecuación homogénea == | == Resolución de la ecuación homogénea == | ||
Realizamos el cambio de variable \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), con lo que el sistema queda: | Realizamos el cambio de variable \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), con lo que el sistema queda: | ||
| − | + | * \( w_t - w_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 \) | |
| − | + | * \( w(0,t) = 0 \quad t > 0 \) | |
| − | + | * \( w(1,t) = 0 \quad t > 0 \) | |
| − | + | * \( w(x,0) = -9x + 9 \quad x \in (0,1) \) | |
Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución: | Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución: | ||
| − | + | * \( w(x,t) = \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \) | |
Por lo que la solución completa es: | Por lo que la solución completa es: | ||
| − | + | * \( u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \) | |
Calculando \( B_n \): | Calculando \( B_n \): | ||
| − | + | * \( B_n = \frac{18}{n \pi} \) | |
Por lo que la solución final queda expresada como: | Por lo que la solución final queda expresada como: | ||
| − | + | * \( u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{{n=1}}^{\infty} \frac{18}{n \pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \) | |
Revisión del 13:21 15 mar 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Planteamiento del problema
Se tiene el siguiente sistema:
1.1 Condiciones iniciales y de frontera
- Ecuación del calor:
: \( u_t - u_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 \)
- Condiciones de frontera:
: \( u(0,t) = 1 \quad t > 0 \) : \( u(1,t) = 10 \quad t > 0 \)
- Condición inicial:
: \( u(x,0) = 10 \quad x \in (0,1) \)
2 Solución estacionaria
Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \) de la forma \( u(x,t) = v(x) + w(x,t) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( w \to 0 \) y \( v \) será solución de:
- \( v(x) = 0 \)
- \( v(0) = 1 \)
- \( v(1) = 10 \)
Resolviendo:
- \( v(x) = ax + b \)
Donde \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), por lo que \( a = 9 \), entonces:
- \( v(x) = 9x + 1 \quad x \in (0,1) \)
3 Resolución de la ecuación homogénea
Realizamos el cambio de variable \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), con lo que el sistema queda:
- \( w_t - w_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0 \)
- \( w(0,t) = 0 \quad t > 0 \)
- \( w(1,t) = 0 \quad t > 0 \)
- \( w(x,0) = -9x + 9 \quad x \in (0,1) \)
Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:
- \( w(x,t) = \sum_Plantilla:N=1^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)
Por lo que la solución completa es:
- \( u(x,t) = 9x + 1 + \sum_Plantilla:N=1^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)
Calculando \( B_n \):
- \( B_n = \frac{18}{n \pi} \)
Por lo que la solución final queda expresada como:
- \( u(x,t) = 9x + 1 + \sum_Plantilla:N=1^{\infty} \frac{18}{n \pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x) \)
