import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return 1 - 2 * np.abs(1/2 - x)

def odd_extension(x):
    return np.where(x < 0, -f(-x), f(x))

def compute_coefficients(n_max, dx=1e-3):
    x = np.arange(0, 1, dx)
    a_k = []
    for k in range(1, n_max + 1):
        integrand = f(x) * np.sin(k * np.pi * x)
        a_k.append(2 * np.trapz(integrand, x))  # Integral numérica por trapecios
    return a_k

def fourier_approximation(x, a_k):
    f_n = np.zeros_like(x)
    for k, ak in enumerate(a_k, start=1):
        f_n += ak * np.sin(k * np.pi * x)
    return f_n

# Valores de n
n_values = [1, 5, 10]

# Discretización del intervalo
x = np.linspace(0, 1, 1000)
x_ext = np.linspace(-1, 1, 2000)

# Gráfica de la función original
plt.plot(x, f(x), label='f(x)', color='black', linewidth=2)

# Aproximaciones de Fourier con f extendida
for n in n_values:
    a_k = compute_coefficients(n)
    f_n = fourier_approximation(x_ext, a_k)
    plt.plot(x_ext, f_n, label=f'n={n}')

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y f_n(x)')
plt.title('Comparación de la extensión impar con la Aproximación de Fourier')
plt.show()
</syntaxhighlight lang>

=Cambio de intervalo de aproximación=

A continuación aproximaremos la función \( f(x) = x e^x \) en el intervalo \([-2, 3]\) mediante su serie de Fourier. En primer lugar, calcularemos la base trigonométrica asociada al espacio \( L^2([-2, 3]) \). Luego, daremos su desarrollo en serie de Fourier y finalmente aproximaremos <math>f(x)</math> con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie obtenida.

Como ya sabemos, en el espacio <math>L^2[-\pi, \pi]</math> la base trigonométrica asociada es:


<center><math>
\mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx), \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
</math></center>


En general, para <math>L^2([a,b])</math>, mediante el cambio de variable <math>
g(x) = \frac{2\pi}{b - a} (x - a) - \pi,
</math> se tiene que la base trigonométrica asociada es


<center><math>
\mathcal{F} =
\left\{
\frac{1}{\sqrt{b - a}} \left[
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \cos\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi) \right),
\sqrt{\frac{2}{b - a}} \sin\left( n (\frac{2\pi(x - a)}{b - a} - \pi )\right)
\right]
\right\}_{n=1}^{\infty},
</math></center>


que es una base ortonormal para <math>L^2([a,b])</math>. Bajo este cambio de variable, una función <math>f(x)</math> en <math>L^2([a,b])</math> se puede expresar como:


<center><math>
f(x) = \frac{d_0}{\sqrt{b - a}}  + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cos\left(n g(x)\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(n g(x)\right),
</math></center>


donde <math>g(x)</math> es el cambio de variable aplicado, y <math>d_n</math> y <math>c_n</math> son los coeficientes correspondientes. De esta manera, <math>g(x) \in [-\pi, \pi]</math>, lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio <math>L^2(-\pi, \pi)</math> al nuevo intervalo <math>[a, b]</math>.

Ahora, pasemos de lo general a nuestro caso concreto, el intervalo  <math>[-2, 3]</math>. Obtenemos que:


<center><math>
f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{5}}  + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\cos\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\sin\left(n \frac{2\pi x - \pi}{5}\right),
</math></center>


'''Definición:''' El espacio <math>L^2(-T, T)</math> se define como el conjunto de funciones medibles <math>f(x)</math> en el intervalo <math>[-T, T]</math> tales que:

<math>
\int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx < \infty.
</math>


'''Definición:''' Decimos que una función <math>f(x)</math> satisface la '''condición de dirichlet''' si <math>f(x) \in L^2([-T,T])</math>, es continua salvo en un conjunto finito de puntos y podemos dividir <math>[-T,T]</math> en un conjunto de subintervalos en los que <math>f</math> es monótona.


'''Teorema:''' Sea <math>f \in L^2([-2, 3])</math>  una función continua y que satisface la condición de Dirichlet, entonces  su serie de Fourier converge puntualmente a <math>f(x)</math> si <math>x</math> es un punto de continuidad en <math>[-2,3]</math>.


Claramente, <math>f(x)</math> es continua y satisface la condición de dirichlet. Además, se verifica que <math>f(x) \in L^2([-2, 3])</math>, pues:


<center><math>
\int_{-2}^{3} (x e^{-x})^2 \, dx = \frac{5}{4 e^6} \left( e^{10} - 5 \right) < \infty.
</math></center>


Concluimos con que su desarrollo en serie de Fourier converge en los puntos de continuidad a <math>f(x)</math>. A continuación, calculemos los coeficientes de Fourier. Para la base ortonormal asociada al espacio <math>L^2([-2, 3])</math>, los coeficientes de Fourier de la función <math>f(x)</math> son:


<center><math>
d_0 = \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \, dx = \frac{-4 + e^5}{\sqrt{5} e^3}
</math>

<math>
d_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \cos\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1
</math>

<math>
c_n = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \int_{-2}^{3} x e^x \sin\left( n \frac{2\pi x - \pi}{5} \right) \, dx \quad \text{para} \quad n \geq 1.
</math></center>


Calcularemos los coeficientes <math>d_n</math> y <math>c_n</math> mediante métodos numéricos en Python, obteniendo así la serie de Fourier de <math>f(x)</math> en <math>[-2,3]</math> y, por tanto, la gráfica de la función y de la serie para distintos valores de <math>n</math>.

[[Categoría:EDP]]

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