Revisión del 21:17 11 feb 2025

1 Introducción

Comenzaremos con una breve explicación de lo que es una serie de Fourier. Sea [math]f[/math] una función integrable en [math][0,T][/math], y además periódica de periodo [math]T[/math], su serie de Fourier viene dada por la expresión:

[math]\begin{equation*} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n}{T} x + b_n \sin \frac{2\pi n}{T} x \right) \end{equation*}[/math]

cuyos coeficientes se obtienen a partir de:

[math]\begin{align*} a_n &= \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos \frac{2\pi n}{T} x \,dx, \quad n = 0,1,2,3, \dots \\[8pt] b_n &= \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin \frac{2\pi n}{T} x \,dx, \quad n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]

A partir de aquí, podemos distinguir dos casos, cuando [math]f[/math] es par o cuando [math]f[/math] es impar. Veamos qué ocurre en cada uno.

Si [math]f[/math] es par: Al calcular los coeficientes [math]a_n[/math] las funciones a integrar son pares ya que tanto [math]f[/math] como los cosenos lo son, sin embargo al calcular los [math]b_n[/math] las funciones a integrar son impares, resultando que [math]\begin{align*} a_n &= \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(x) \cos \frac{2\pi n}{T} x \,dx \quad & n = 0,1,2,3, \dots \\[8pt] b_n &= 0 \quad & n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]

Y por ende la serie de Fourier obtenida es de la forma [math]\begin{equation} \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{2\pi n}{T} x \end{equation}[/math]

Si [math]f[/math] es impar: Al calcular los coeficientes [math]a_n[/math] las funciones a integrar son impares, en cambio, al calcular los [math]b_n[/math] son pares, obteniendo:

[math]\begin{align*} a_n &= 0 \quad & n = 1,2,3, \dots\\[8pt] b_n &= \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(x) \sin \frac{2\pi n}{T} x \,dx \quad & n = 1,2,3, \dots \end{align*}[/math]

y por ende la serie de Fourier resultante: [math]\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{2\pi n}{T} x \end{equation}[/math]

2 Aproximación de una función continua

Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función [math]f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|[/math] en el intervalo [math][0,1][/math]. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función

[math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x), & x\in[0,1] \\ -f(-x), & x\in[-1,0) \end{array}\right..[/math]

En nuestro caso, la extensión impar viene dada por [math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} -2-2x, & -1\leq x\lt-\frac{1}{2} \\ 2x, & -\frac{1}{2}\leq x\lt\frac{1}{2} \\ 2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 \end{array}\right.,[/math] que es efectivamente una función continua en [math][-1,1][/math].

Ahora, por ser [math]f\in L^2([-1,1])[/math], utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente [math]\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de [math]f[/math] con las funciones pares de la base [math](\left\{\frac{1}{2}\right\}[/math] y [math]\{\cos(n\pi x)\})[/math] resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir [math]f_n(x)[/math] como la suma de los primeros [math]n[/math] términos de la serie de Fourier [math]f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).[/math]