Diferencia entre revisiones de «Series de Fourier (MAMBD)»
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<math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc} | <math>g(x)=\left\{\begin{array}{cc} | ||
-2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\ | -2-2x, & -1\leq x<-\frac{1}{2} \\ | ||
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2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 | 2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 | ||
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que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>. | que es efectivamente una función continua en <math>[-1,1]</math>. | ||
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| + | Ahora, por ser <math>f\in L^2([-1,1])</math>, utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente <math>\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}</math>. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de <math>f</math> con las funciones pares de la base (<math>\left\{\frac{1}{2}\right\}</math> y <math>\{\cos(n\pi x)\}</math>) resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir <math>f_n(x)</math> como la suma de los primeros <math>n</math> términos de la serie de Fourier | ||
| + | <math>f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).</math> | ||
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Revisión del 17:02 11 feb 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo x |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Nombres |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
2 Aproximación de una función continua
Para ilustrar la aproximación por series trigonométricas, consideramos la función [math]f(x)=1-2\left|\frac{1}{2}-x\right|[/math] en el intervalo [math][0,1][/math]. Buscamos extenderla de forma impar obteniendo una función
[math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x), & x\in[0,1] \\ -f(-x), & x\in[-1,0) \end{array}\right..[/math]
En nuestro caso, la extensión impar viene dada por [math]g(x)=\left\{\begin{array}{cc} -2-2x, & -1\leq x\lt-\frac{1}{2} \\ 2x, & -\frac{1}{2}\leq x\lt\frac{1}{2} \\ 2-2x, & \frac{1}{2}\leq x\leq1 \end{array}\right.,[/math]
que es efectivamente una función continua en [math][-1,1][/math].
Ahora, por ser [math]f\in L^2([-1,1])[/math], utilizamos para la aproximación la base trigonométrica correspondiente [math]\left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]. Sin embargo, al haber extendido la función de forma impar, el producto escalar de [math]f[/math] con las funciones pares de la base ([math]\left\{\frac{1}{2}\right\}[/math] y [math]\{\cos(n\pi x)\}[/math]) resultan ser impares. Con esto deducimos que al integrar dicho producto en un intervalo simétrico, el resultado es cero, ya que las áreas positivas y negativas se anulan entre sí debido a la simetría de la función con respecto al origen. Entonces podemos definir [math]f_n(x)[/math] como la suma de los primeros [math]n[/math] términos de la serie de Fourier [math]f_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k \sin(k\pi x), \hspace{0.5cm} a_k=2\int_0^1 f(x)\sin(k\pi x).[/math]
