Diferencia entre revisiones de «Grupo 38 Cicloide»

Revisión del 22:25 8 dic 2024

La cicloide es una curva generada por un punto en el borde de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una línea recta. Este fenómeno ocurre bajo la condición de rodadura sin deslizamiento, lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0. Este tipo de curva está presente en varios aspectos de la vida cotidiana. Por ello, se presenta a continuación, un estudio de la misma. Esto, aportará al lector un conocimiento de la cicloide en diferentes aspectos, tanto teoricos como practicos de las matemáticas y la física. Se considera la parametrización: [math] \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) [/math], para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=2.

1 Dibujo de la curva

Se comenzará dibujando la curva:

% Parámetros
R = 2; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); 
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal;

Dibujo de la cicloide mediante MatLab.

2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 2, R=2, es : [math] \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(2(t-sin(t)), 2(1-cos(t)) ) [/math]

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas: [math]\overrightarrow{v(t)}=\frac{\frac{d \gamma(t)}{dt}}{\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|}=(2-2cos(t),2sen(t))[/math] y [math]\overrightarrow{a(t)}=\frac{\frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt}}{\left| \frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt} \right|}=(2sen(t),2cos(t))[/math]
A continuación, se representan utilizando MATLAB:

% Parámetros dados
R = 2;                % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t);       % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t);       % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t);       % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); 
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal; 
hold off;

Campos de vectores aceleracion y velocidad.

3 Cálculo de la longitud de la curva L

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt[/math]

Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}2\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt[/math]
Para lo cual se utilizará Matlab a través del siguiente código:

f = @(t) 2*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;  
b = 2*pi;  
n = 1000;  
h = (b - a) / n;  %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;  
y = f(x);   
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=16u

4 Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: [math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}[/math]
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: [math]\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{n(t)}[/math]
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión: [math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}[/math]
Realizando las operaciones: [math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{2-2cos(t)}{\sqrt{cos(t)^{2}-16cos(t)+1}}\overrightarrow{k}[/math]
Así, obtenemos: [math]\overrightarrow{n(t)}=\frac{sen(t)(2cos(t)-2)}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{(-i)}+\frac{(2cos(t)-2)(1-cos(t))}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{j}[/math]
Y el vector tangente: [math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{1-cos(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{i}+\frac{sin(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{j}[/math]

% Parámetros dados
t1 = linspace(0, 2*pi, 20); 

x = 2*t1 - 2*sin(t1); % Componente x de la curva
y = 2 - 2*cos(t1);   % Componente y de la curva

% Vectores tangente t(t)
u = (2 - 2*cos(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1)); % Componente x 
v = (2*sin(t1)) ./ sqrt(8 - 8*cos(t1));    % Componente y

%vectores normales n(t)
w=-v %componente x
q=u %componente y

% Gráfica de la curva y el campo vectorial
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;

% Grafica de los vectores tangentes y normales
quiver(x, y, u, v, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1); 
quiver(x, y, w, q, 0.5, 'b', 'LineWidth', 1);


axis equal;
grid on;
title('Campo Vectorial sobre la Curva');
xlabel('x');

Gráfica de los vectores tangentes y normales.

5 Curvatura de k(t) y su gráfica

La curvatura k(t) es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma. Esta función viene definida por la expresión: [math]κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}[/math]

t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(16*(cos(t)).^2-32*cos(t)+16)./((sqrt(8-8*cos(t)).^3))); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on

Imagen de la gráfica realizada con Matlab.

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

6 Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P

La curvatura define el radio de la circunferencia osculatriz en cualquier punto de la curva a través de la fórmula: [math]K(t)=\frac{1}{R(t)}[/math]. Donde K(t) es la curvatura y R(t) es el radio buscado en cualquier punto t. En este caso se particularizará para t=2.
Ahora, sustituyendo t en la fórmula:[math]κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}[/math] , y despejando R(T), se obtiene a el radio de la circunferencia osculatriz para el punto seleccionado : [math]K(2)=0,149\Rightarrow R(2)=6,711 [u][/math]
A continuación, para encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia osculatriz, se tendrán en cuenta distintas propiedades que se cumplen para cualquier punto de la curva, P(t) y su correspondiente centro C(t).:

• [math]\left| \overrightarrow{PC(t)} \right|=R(t)[/math]
  
• [math]\frac{\overrightarrow{PC(t)}}{\left| \overrightarrow{PC(t)} \right|}=-\overrightarrow{n(t)}[/math]
  

De esta forma:
[math]\overrightarrow{PC(t)}=-R(t)\overrightarrow{n(t)} [/math]
[math]\overrightarrow{PC(t)}=\overrightarrow{OP(t)}-\overrightarrow{OC(t)}=\overrightarrow{\gamma(t)}-\overrightarrow{OC(t)}[/math]
[math]\overrightarrow{OC(t)}=\overrightarrow{\gamma(t)}+R(t)\overrightarrow{n(t)}[/math]
Teniendo en cuenta que [math]K(t)=\frac{1}{R(t)}[/math], se pondrá R(t) en función de K(t):
[math]\overrightarrow{OC(t)}=\overrightarrow{\gamma(t)}+\frac{1}{K(t)}\overrightarrow{n(t)}[/math]
Por último, se particulariza para P(t=2):
[math]\overrightarrow{OC(t=2)}=\overrightarrow{OC(P)}=3,88\overrightarrow{i}-2,93\overrightarrow{j}[/math]

7 Información sobre el cicloide, aplicaciones en la ingeniería civil y propiedades matemáticas

Primero se describirá la curva y se enunciarán algunas propiedades que presenta la cicloide en cuanto a las matemáticas, posteriormente se relacionará con el campo de la ingeniería y las posibles aplicaciones que puede tener para la construcción.

Circunferencia de generación cicloide

Para comprender cómo se genera esta curva, imaginemos un círculo rodando suavemente sobre una superficie plana. A medida que el círculo gira, un punto fijo en su borde traza una trayectoria en el espacio que da lugar a la cicloide. Esta curva tiene propiedades matemáticas notables.
En el ámbito de la ingeniería, la cicloide encuentra aplicaciones en el diseño de mecanismos y estructuras. Por ejemplo, se utiliza en la construcción de engranajes cicloidales, así como en la trayectoria ideal de cuerpos sometidos a ciertas condiciones gravitatorias, como el problema de la braquistócrona.
A continuación, se procederá a enunciar algunas propiedades de la cicloide. Sin embargo, antes de hacerlo, es necesario definir ciertos términos fundamentales que faciliten su comprensión. Estos conceptos servirán como base para explicar las características matemáticas.
Definiciones:

• Circulo generador: La circunferencia que gira, donde se ubica el punto fijo.
• Directriz: La recta horizontal que pasa por el centro de la circunferencia generadora.

Directriz de la cicloide

• Eje horizontal: La recta sobre la que rueda el círculo generador de la cicloide.
• Ángulo principal: El ángulo entre la tangente a la curva y el eje horizontal.
• Punto inferior y superior: El punto más bajo y más alto del círculo cuando está en contacto con el eje horizontal.

Propiedades matemáticas:

• El ángulo entre la recta tangente a la cicloide (en cualquier punto) y la recta directriz es igual al ángulo complementario (hasta 90º) de la mitad del ángulo de giro del radio del círculo generador.
• El ángulo ente la normal a la cicloide (en cualquiera de sus puntos) y la recta directriz es igual a la mitad del “ángulo principal”
• 1ª propiedad fundamental: Toda normal a la circunferencia pasa por el punto “inferior” del círculo generador.
• 2ª propiedad fundamental: La tangente a la cicloide pasa por el punto “superior” del círculo generador.
  

Aplicaciones matemáticas de la cicloide

La cicloide tiene aplicaciones en problemas clásicos, como la braquistócrona y la tautócrona, estos problemas se basan en el movimiento de un cuerpo que desliza sin rozamiento bajo la acción de la gravedad.

• Braquistócrona, es la trayectoria por la que bajo la acción de la gravedad el tiempo de bajada de un cuerpo es el mínimo posible. (Curva roja)
  

  Curva braquistócrono.
  
  

• La Tautócrona, es la curva para la cual el tiempo que tarda un objeto en llegar a su punto más bajo es independiente de su punto de partida. Esta curva es una cicloide. El tiempo viene dado por: [math]t = \pi \sqrt{\frac{r}{g}} [/math]
  

  Curva Tautócrona
  
  

Aplicaciones en la ingenieria
En cuanto a la ingeniería civil, la cicloide no tiene muchos usos prácticos en la construcción por la complejidad de su forma. Sim embargo, se utiliza en otras disciplinas:

Engranaje cicloidal

• Diseño de engranajes cicloidales: Estos engranajes son conocidos por su eficiencia, baja fricción y resistencia al desgaste, ideales para aplicaciones de alta precisión. Estos se utilizan el relojes y compresores volumétricos.
• Diseño de estructuras de descenso: Basándose en la propiedad de la braquistócrona, las cicloides se utilizan para optimizar la velocidad de descenso en estructuras como montañas rusas, canales de agua y toboganes.
• Diseño de arcos y bóvedas: La cicloide se utiliza en la arquitectura para diseñar arcos y bóvedas, especialmente en construcciones que requieren alta resistencia y distribución uniforme de cargas. Sin embargo, no es eficiente debido a su alto coste de fabricación. Apartado 8 del trabajo.

• Infraestructura de energía renovable: En diseños de turbinas hidráulicas y eólicas, se utilizan formas cicloidales para optimizar el flujo y la eficiencia.
  

  Turbina eólica con turbinas cicloidales
  
  

La cicloide, con su singular combinación de elegancia matemática y utilidad práctica, se posiciona como una curva de gran relevancia tanto en el ámbito teórico como en el práctico. Su generación mediante un movimiento simple, la convierte en un concepto accesible, pero al mismo tiempo lleno de propiedades sorprendentes que han capturado la atención de matemáticos, físicos e ingenieros a lo largo de la historia.

En el campo de la ingeniería, su capacidad para optimizar trayectorias, distribuir cargas y mejorar la eficiencia mecánica ha llevado a aplicaciones diversas. Además, su papel en problemas clásicos como la braquistócrona y la tautócrona destaca su importancia.

En conclusión, el estudio de la cicloide no solo resalta la conexión esencial entre las matemáticas teóricas y las aplicaciones prácticas, sino que también demuestra cómo conceptos aparentemente abstractos pueden transformar la sociedad en la que vivimos.

8 Uso de cicloides en estructuras civiles

La cicloide ha fascinado a matemáticos, físicos e ingenieros debido a sus propiedades únicas. A pesar de sus ventajas teóricas como la óptima trayectoria física, la eficiencia y la distribución de fuerzas uniformemente, su aparición en estructuras civiles es poco común debido a factores prácticos y económicos. Una de las implementaciones de la cicloide en estructuras civiles importantes es su uso en la cubierta del Museo de Arte Kimbell que se encuentra en Texas, EE.UU. Diseñado por el arquitecto ruso Louis Isadore Kahn, el museo cuenta con 19 bóvedas con forma de cicloide paralelas entre sí. En este edificio los focos de luz apuntan a las bóvedas cicloidales que iluminan indirectamente el museo sin tener que enfocar la luz en las obras, que en algunos casos se pueden dañar en el largo plazo.

También se pueden apreciar cicloides en otras estructuras, como en pistas para usar bicicletas y patinetes, elementos decorativos modernos y se pueden encontrar figuras parecidas a la cicloide en puentes de todo el mundo.

9 Cicloide en un espacio tridimensional

La superficie S obtenida se obtiene sencillamente extendiendo una unidad cada punto de nuestra cicloide en R3 en dirección [math]\overrightarrow{i}[/math].
Así, podemos ver que [math]x_{1}[/math] varía entre 0 y 1, le asignaremos el parámetro u. Por otra parte, x2 y x3 están relacionados por la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t.
Entonces la ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
[math]S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl} x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\ x_{2}=2(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\ x_{3}=2(1 + cost) \\ \end{array} \right.[/math]

10 Densidad de la cicloide dada por una función

Si consideramos la función de densidad f: [math]f(x_{1},x_{2},x_{3})=(\left( 1-x_{1} \right)^{2}x_{3}[/math]
Y la parametrización [math]S(u,v)=(u,R(1-sen(t)),R(1+cos(t)))[/math], con u perteneciendo al intervalo [0,1] y t perteneciendo al intervalo [0,2π].
La densidad parametrizada sigma según los parámetros anteriores quedaría de la manera [math]\sigma(u,t)=(1-u)^{2}R(1+cos(t))[/math].
Podemos observar que la densidad varía a lo largo del eje x1 y x3, manteniéndose constante según el eje x2.
De esta manera, en el eje x1 la densidad será máxima en u=0 y será nula en u=1, mientras que en el eje x3 será máxima siempre que cos(t) sea máximo, es decir, en los valores de t=0 y t=π.
De cara a hallar la masa de la superficie, usaremos la fórmula:
[math]m_{S}=\int_{}^{}\int_{S}^{}\sigma(u,t)\left| \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial u}\times \frac{\partial \overrightarrow{S(u,t)}}{\partial x} \right|dudt[/math]