Diferencia entre revisiones de «T.C.V2»

A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona.

Cicloide realizada con el programa matlab

clear,clc
R=2; 
%Definición del vector t 
t=linspace(0,2*pi,1000); 
%Trayectoria de la cicloide 
x=R*(t-sin(t));           
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva 
plot(x,y,'b');
%Etiquetas 
xlabel('X'); 
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');

2 Vectores velocidad y aceleración de la cicloide

2.1 Vector velocidad

El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t.

• [math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j [/math]

2.2 Vector aceleración

El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t.

• [math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j[/math]

2.3 Representación gráfica de los vectores

Mediante un código en MATLAB

realizado con el programa matlab

R=2; 
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
%vector aceleración 
a1=R*(sin(t)); 
a2=R*(cos(t)); 
figure 
hold on 
%Gráficos 
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');  
quiver(x,y,a1,a2,'r'); 
%Etiquetas 
axis equal 
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off 
title('Curva, velocidad y aceleración');

3 Longitud de la cicloide

En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica.
[math] Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt= \int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= [/math]
[math] = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt = \int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m [/math]

Visualización de la solución.

clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
 Sum =0;
 for i =1:n-1
 b = t(i+1)-t(i);
 a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
    super = b *a ;
    Sum = Sum + super;
 end
 Longitud=round(Sum);                       
 fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
          'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )

Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.

clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
   X=2*(t-sin(t));    Y=2*(1-cos(t));            % Parametrización cicloide
   Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt));          % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25];                  % Delimitacón de los ejes

figure
  hold on
  title('Visualización de la resolución numérica')
   xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
    axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
   plot(X,Y,"g",'LineWidth',2)                    % Generación cicloide i 
  v=linspace(0,2*pi,i);                           % veces
    plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b')           % "" aproximación en azul
      pause(0.5)                                  % Se muestra un 0.5s
    plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w')           % Se suprime la aproxima
                                                  % ción pintandola de
                                                  % blanco
  if i==20;                                       
   plot(Xt,Yt,'b')   
  end
  
end
hold off

4 Vector tangente y vector normal

4.1 Vector tangente

El vector tangente es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.

• [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]

4.2 Vector normal

El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente.

• [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]

4.3 Representación de los vectores tangente y normal

Realizado con el programa matlab

R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n); 
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2); 
t1=v1./norma; 
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k'); 
%tangente 
quiver(x,y,t1,t2,'r'); 
%normal 
quiver(x,y,-t2,t1,'b'); 
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off 
title ('Curva, tangente y normal.');

5 Curvatura

5.1 Definición de la curvatura

La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.

Su fórmula es:

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}[/math]

Si lo desarrollamos:

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}[/math]

5.2 Representación de la curvatura

realizado con el programa matlab

Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:

n=100; 
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');

6 Circunferencia Osculatriz

Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) = [/math]

Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}= [/math]

7 Información la sobre curva y relación con la ingeniería

Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.

Una cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de un círculo que rueda sin deslizarse sobre una línea recta. Su ecuación paramétrica se describe como x=r(t-sent), y=r(1-cost); donde r es el radio de giro del círculo y t es el ángulo girado. La cicloide describe el movimiento más rápido en un plano bajo gravedad (braquistócrona), es decir, el camino más rápido entre dos puntos a diferentes alturas y el movimiento más suave (tautócrona). La curva braquistócrona es la curva del descenso más rápido,​es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.Solo depende de las condiciones iniciales y de la posición final, no del tiempo uniforme. Es una cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad. La tautócrona es la curva para la cual el tiempo tomado por un objeto que desliza sin rozamiento en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto de partida (asegura el mismo tiempo de recorrido sin importar el inicio).

8 Superficie reglada

Cicloide realizada con el programa matlab

Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:

R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')

9 Masa de la superficie

[math]Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\[/math] [math]\begin{align*} La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\ \text{Parametrización: } & \begin{cases} x_1 = v \\ x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\ x_3 = R(1+ \cos u) \end{cases} \\ g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\ Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\ \vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\ \vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\ \vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\ \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\ &= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\ &= R\sqrt{2-2\cos u} \\ \text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\ &= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\ \end{align*} [/math]


Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
    masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);