Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (GRUPO 15)»

Revisión del 21:42 7 dic 2024

1 Introducción

La ley de Poiseuille determina el flujo laminar en un tubo con sección cilíndrica constante que describe el movimiento de un fluido viscoso (newtoniano) bajo condiciones estacionarias en el interior del conducto. Supondremos en este caso que esta centrado en el eje OZ con radio 3.

Hallamos con la función velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] y presión [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)[/math] sus respectivas gráficas y estudiaremos los vectores ortogonales de [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math].

Además analizaremos la temperatura: [math]T(\rho, \theta, z) = 2 e^{1 + \rho} - (z - 2)^2[/math] para obtener el rotacional y sus campos de temperaturas.

Para este artículo, hemos hecho uso del programa Matlab para la representación grafica de los resultados, con el fin de visualizar mejor las interpretaciones de dicha Ley.

2 Sección transversal

A continuación, se presenta un dibujo del perfil longitudinal de una tubería, el cual permite una representación gráfica. Este perfil es fundamental para entender la geometría de la tubería, facilitando su análisis y visualización. A través de esta representación, se puede observar un radio de 3 y una altura de 10.

Mallado de la sección

%Se crea el mallado en 2D
rho=0:0.2:3; 
z=0:0.2:10; 
[x,y]=meshgrid(rho,z); 
%Representamos la tubería
hold on
mesh(x,y,0.*x);
%Región en la que se va a representar
axis([0,4,0,10]); 
%Dar nombre a los elementos que se van a contemplar en la gráfica
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
title ('Mallado de la sección longitudinal');
hold off

3 Ecuación de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos incompresibles y viscosos, se consideran fuerzas como la presión, la viscosidad y fuerzas externas. Son fundamentales en dinámica de fluidos para modelar fenómenos como flujos laminares, turbulentos y transporte en diversos medios. Con la ecuación de la velocidad de partículas [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] y presión [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)[/math] donde [math]p_{1}[/math] es la presión en [math]z = 1[/math], [math]p_{2}[/math] en [math]z = 5[/math] y [math] \mu [/math] es la viscosidad.

La ecuación de Navier-Stokes : [math] \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, [/math].

Donde [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math] satisface esta ecuación la cual es independiente del tiempo y se desprecia el primer termino

Se comprobara que [math]\vec{f}(\rho)[/math] cumpla la ecuación:

Resolvemos:

1) Multiplicamos por [math] \rho[/math]

[math] \frac{\partial}{\partial \rho}\left (\rho \frac{\partial f\left(\rho\right)}{\partial\rho}\right)=\rho\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} [/math]

2) Integramos

[math]\int_{}^{}\frac{\partial}{\partial \rho}\left (\rho \frac{\partial f\left(\rho\right)}{\partial\rho}\right)\partial\rho=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\int_{}^{}\rho\partial\rho[/math]

[math]\rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho^{2}}{2} + C_{1} [/math]

[math] \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho}{2} + \frac{C_{1}}{\rho} [/math]

3)Integramos por segunda vez [math]\int_{}^{}[/math]

[math]\int_{}^{} \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho }\partial \rho = \frac{\left ( p_2-p_1 \right )}{\mu} \cdot \int_{}^{}(\frac{\rho}{2} + \frac{C_1}{\rho}) \partial \rho[/math]

Obtenemos la función: [math] {f(\rho)} = (\frac{p_2-p_1}{\mu})\frac{\rho^{2}}{4} + C_1\ln(\rho) + C_2[/math].

Tomamos valor [math]\rho = 3 , \rho= 0[/math] para encontrar valor a las constantes [math] C_1, C_2 [/math] donde la velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math] es nula.

• Condición 1:[math] f(\rho) = 0 [/math]para[math] \rho = 3:[/math]

[math]0 = \frac{3^2}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} + C_1 \ln(3) + C_2.[/math]

• Condición 2: [math]f(\rho)[/math] no diverge para [math]\rho = 0:[/math]

Para evitar divergencias, se impone [math]C_1 = 0[/math], ya que el término [math]\ln(\rho)[/math] diverge cuando [math]\rho \to 0[/math].

Sustituyendo [math]C_1 = 0[/math] en la ecuación:

[math]0 = \frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} + C_2[/math].

De aquí, se obtiene:

[math]C_2 = -\frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu}.[/math]

La solución final es: [math] f(\rho) = \frac{\rho^2}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} - \frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu}.[/math]

Verificamos la condición de incomprensibilidad, que establece que el fluido debe conservar su volumen

donde [math]\nabla \cdot \mathbf{u} [/math] es la divergencia del campo de velocidad de [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] lo que significa que solo tiene componente en la dirección [math]z [/math] y esta depende únicamente de [math] \rho [/math].

Por lo tanto, todos los términos de la divergencia son cero, y se verifica que el fluido es incompresible.

4 Representación de los campos de presiones y velocidades

4.1 Campo de presiones

Para analizar el campo de presiones, es esencial estudiar cómo varía la presión con respecto a la altura. Observamos que existe una relación lineal entre ambas magnitudes: a mayor profundidad, mayor es la presión, y, de manera inversa, al reducir la profundidad, la presión también disminuye.

La presión en el fluido está dada por la ecuación: [math]p(x, y) = p_1 + \left(p_2 - p_1\right) \frac{(z - 1)}{4}.[/math]

Sustituyendo los valores [math]p_1 = 2 [/math] y [math]p_2 = 6[/math] [math]\to p(x, y) = 2 + \left(6 - 2\right) \frac{(z - 1)}{4}.[/math]

Simplificando: [math]p(x, y) = 2 + 4 \cdot \frac{(z - 1)}{4}.[/math]

Finalmente, obtenemos: [math]p(x, y) = z + 1.[/math]

Campo de Presiones

Por lo tanto, el campo de presiones muestra que la presión depende linealmente de la altura [math]z[/math]. A medida que [math]z[/math] aumenta, la presión también lo hace, y viceversa.

clear all;
z=0:0.1:10;
f=z + 1; 
plot(z,f)
xlabel('Variación de altura');
ylabel('Variación de presión');
title(' Gráfica del campo de presiones');

4.2 Campo de velocidades

El campo de velocidad está centrado en la componente axial [math]\mathbf{u_z}[/math] que depende de la coordenada radial [math]\rho[/math], lo que significa que la velocidad aumenta al alejarse del centro.

Está definido como:[math]\mathbf{u}(\rho, \theta, z) = f(\rho) \mathbf{e}_z,[/math]

donde: [math]f(\rho) = \frac{\rho^2}{4} \frac{p_2 - p_1}{4\mu} - \frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4\mu}.[/math]

Sustituyendo [math]p_1 = 2, p_2 = 6,[/math] y [math] \mu = 1[/math] [math]\to f(\rho) = \frac{\rho^2}{4} \cdot 1 - \frac{9}{4} \cdot 1.[/math]

Simplificamos: [math]f(\rho) = \frac{\rho^2 - 9}{4}.[/math]

Campo de Velocidades

Por lo tanto, el campo de velocidad es: [math]\mathbf{u}(\rho, \theta, z) = \frac{\rho^2 - 9}{4} \mathbf{e}_z.[/math]

% Campo de Velocidad
rho = linspace(0, 5, 100); %radio
f(rho) = (rho.^2 - 9) / 4;

figure;
plot(rho, f(rho), 'r', 'LineWidth', 2);
xlabel('Coordenada radial (\rho)');
ylabel('Velocidad axial (u_z)');
title('Campo de Velocidad');grid on;

5 Líneas de corriente

Para dibujar las líneas de corriente del campo [math]\overrightarrow{u}[/math], es decir, las líneas tangenes a [math]\overrightarrow{u}[/math] en cada punto. Debemos calcular el campo [math]\overrightarrow{v}[/math] ya que en cada punto es ortogonal a [math]\overrightarrow{u}[/math].

Procedemos a calcular [math]\overrightarrow{v}[/math] que es ortogonal a [math]\overrightarrow{u}[/math] ya que se comprueba que: [math]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\cdot \overrightarrow{u}[/math]. Como hemos hallado anteriormente, la divergencia de [math]\overrightarrow{u}[/math] es nula. Por lo que el rotacional del campo [math]\overrightarrow{v}[/math] es nulo también.

La función de corriente o potencial escalar viene definido como: [math]\psi [/math],([math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math])

Sustituyendo [math]f\left ( \rho \right )[/math]: [math]\overrightarrow{v}=\left ( \frac{p2-p1}{4\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu }\right )\overrightarrow{e_{\rho }}[/math].

Para calcular [math]\psi [/math], obtenemos su gradiente e igualmaos al campo [math]\overrightarrow{v}[/math], [math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math].

[math]\bigtriangledown \psi=\frac{d\psi }{d\rho }\overrightarrow{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{d\psi }{d\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{d\psi }{dz}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{v} \to \frac{d\psi }{d\rho }=\frac{p2-p1}{4\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu } [/math].

Integramos: [math] \psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\int\rho ^{2}d\rho + \int d\rho =\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho ^{3} + \rho [/math]

Tras integrar nos queda finalmente que [math]\psi=\frac{p2-p1}{24\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu }\rho [/math]. Sustituyendo en la anterior función los valores asignados, el resultado de la función potencial será: [math]\psi(\rho) = \frac{1}{6} \rho^2 - 4 \rho[/math].

Representación de las líneas [math]\psi=cte [/math]. Se comprueba que las líneas de corriente de [math]\overrightarrow{u}[/math]. Es decir, que son tangentes a dicho campo en cada punto. Siguen la dirección de [math]\overrightarrow{e_{z}}[/math] por lo que sigue el sentido de la tubería.

6 Velocidad máxima del fluido y módulo de la velocidad

Para calcular la velocidad máxima se deriva la función [math]\mathbf{u}(\rho, \theta, z) = \frac{\rho^2 - 9}{4} \mathbf{e}_z.[/math] en función de [math] \rho [/math]:

Módulo de la velcidad

Despejando, nos queda que la velocidad es máxima cuando [math] \rho =0 [/math]

p=0:0.05:4; %Definimos rho
u=abs((p^.2-9)/4); %Definimos funcion de velocidad
plot(p,f);
xlabel('p')
ylabel('Módulo de u')
title('u=(p.^2-9)/4')

La gráfica confirma lo que hemos calculado analíticamente.

7 Rotacional

Para hallar el rotacional simplemente usamos la fórmula:

Sustituyendo en la fórmula con nuestros datos, nos queda:

Desarrollando el determinante obtenemos que [math]\nabla\times\vec{u}=(\frac{-\rho}{2})\vec{e_\theta}[/math]

Rotacional del campo velocidad

p=linspace(0,4,50); %Definimos 'rho'
 z=linspace(0,10,50); %Definimos 'z'
 [Mp,Mz]=meshgrid(p,z);
 rot=abs(Mp./2); %Calculamos el rotacional
 surf(Mp,Mz,rot)
 colorbar
 view(0, 90)
 axis([0,5,0,12])
xlabel('p');
ylabel('z');
title('Rotacional de u');

8 La Temperatura

La temperatura es una de las muchas interpretaciones del campo escalar, ya que se le asocia una aplicación lineal [math]\mathrm{T} : \mathbb{R}^3 \Rightarrow \mathbb{R}^1[/math] la cual tiene como entrada y salida magnitudes escalares. Sus entradas más habituales son el tiempo y la posición. No obstante, la temperatura del fluido nos viene dada por el campo escalar: [math]T(\rho, \theta, z) = 2 e^{1 + \rho} - (z - 2)^2[/math] . Si se pone atención a la función, la variable [math]\theta[/math] es nula, por lo que z y [math]\rho[/math] crean un mallado 2D que se alzará dependiendo de la temperatura en cada punto.

A continuación, se pretende representar en 2D un gráfico a color de la temperatura y otro que refleje sus curvas de nivel como ayuda para la interpretación de dicho campo. Para determinar donde la temperatura es máxima gráficamente vale con ver el gráfico de matlab, también se puede calcular con el gradiente igualando al 0. Se aclara que el gráfico no trabaja con coordenadas cartesianas, sino con coordenadas polares.

x = 0:0.1:3;
y = 0:0.1:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
%T=exp((1+X).*2)-(Y-2).^2;
%T=exp(1+X).*2-(Y-2).^2;
%T=2.*exp(1+X).*2-(Y-2).^2;
[T_max, idx_max] = max(T(:)); 
[row_max, col_max] = ind2sub(size(T), idx_max);  
hold on
pcolor(X, Y, T);
shading flat
grid on
axis([0, 4, 0, 10]);
colorbar;
title('Campo de temperaturas')
xlabel('ρ')
ylabel('z')
plot(X(row_max, col_max), Y(row_max, col_max), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');
hold off;

9 Gradiente de la Temperatura

El gradiente de temperatura (\(\nabla T\)) nos dice cómo varía la temperatura en función de cada punto y de sus coordenadas \((\rho, \theta, z)\). Esta temperatura viene expresada en función de coordenadas cilíndricas, luego para calcular el gradiente de la temperatura utilizaremos la siguiente fórmula.

Para expresar gráficamente el gradiente se ha utilizado el siguiente código en Matlab:

derecha

rho=0:0.1:2; %Se define la 'rho'
z=0:0.1:10; %Se define la 'z'
[A,B]=meshgrid(rho,z);
figure(1)
T=(exp(1+A).*2) - (B-2).^2; %Se define la función de Temperatura
[TRHO,TZ]=gradient(T); %Se define el gradiente.
 hold on
quiver(A,B,TRHO,TZ) %Muestra en la gráfica el campo gradiente
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente de Temperatura')
shading flat
grid on
hold off

Para expresar gráficamente el gradiente junto con las curvas de nivel se ha utilizado el siguiente código en Matlab:

derecha

rho=0:0.1:2; %Se define la 'rho'
z=0:0.1:10; % Se define la 'z'
[A,B]=meshgrid(rho,z);
figure(1)
T=(exp(1+A).*2) - (B-2).^2; %Se define la función de Temperatura
[TRHO,TZ]=gradient(T); %Se define el gradiente.
 hold on
quiver(A,B,TRHO,TZ) %Muestra en la gráfica el campo gradiente
 contour(A,B,T,'k') %Muestra encima del campo gradiente las curvas de nivel
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente de Temperatura con Curvas de nivel')
shading flat
grid on
hold off

El hecho de que el gradiente sea ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura refleja que el calor fluye en la dirección de mayor cambio de temperatura, que es perpendicular a las zonas de temperatura constante descritas por las curvas de nivel.

10 Caudal

El objetivo de este apartado es medir el caudal que atraviesa la sección transversal del tubo.

Se calculará con el campo de velocidades [math]\mathbf{\overrightarrow{u}}[/math]. La expresión del caudal es la siguiente:

[math] Q \left( \frac{m^3}{s} \right) = \int_{S}^{}\overrightarrow{u}\overrightarrow{n}dS [/math]

De esta manera:

[math] Q \left( \frac{m^3}{s} \right) = \int_{S}^{}\left ( \frac{\rho ^{2}-9}{4} \right )\overrightarrow{e_{z}}\cdot \overrightarrow{e_{z}} dS = \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{3}\left ( \frac{\rho ^{2}-9}{4} \right )d\rho\cdot d\theta = -9\pi[/math]

El valor del caudal nos da información acerca de la cantidad de fluido que pasa en un determinado tiempo, por lo que tiene sentido tomarlo en valor absoluto. En este caso se ha obtenido un resultado negativo, este signo describe que el flujo está ocurriendo en una dirección opuesta a la dirección definida por el vector normal. El caudal que atraviesa la sección transversal del tubo es de [math]28.2743 m^{3}/s[/math].