Revisión del 19:37 7 dic 2024

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

1 Matrices de cambio de base Q y \(Q^{-1}\)

2 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Utilizamos la matriz cambio de base de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas:

[math] \vec{r}cilíndricas parabólicas=Q^{-1}* \vec{r}cartesianas\ = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial: [math]\vec{r}cilíndricas parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

3 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico

Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\).

Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:

El campo es simplemente sustituir \(x_2=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el punto se adjunta la siguiente demostracion: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} \\[/math]

Nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \) y a \(v^2\) respectivamente y sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} 2x_1 =p-q (1)\\ x_2^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

Dejamos en función de \(q\) a la ecuación (1) [math]q=p-2x_1[/math]

Posteriormente sustituimos esta nueva ecuacion en la ecuacion (2)

\(p^2\)-\(2x_1p\)=\(x_2^2\)

Sacamos las raices de \(p\):

[math]p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2}\\ p_2=No valida por ser negativa\\[/math] [math] (0, 1, 1): \begin{cases} u = \left (\sqrt{x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\right) \\ v = \sqrt{-x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\\ z = z \end{cases} \\[/math] Finalmente

[math](u, v, z) = (1 ,1 ,1).\\[/math]

[math]\textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\\[/math]

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

donde: [math]h_u=h_v=\sqrt{x_1^2+x_2^2} ; h_z=1\\[/math]

Expresándolos en coordenadas cilíndricas parabólicas serían:

[math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} ; h_z=1 [/math]

Las derivadas parciales correspondientes serian:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente si sustitumos el punto en el gradiente se nos quedaria la siguiente expresion:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]

4 Curvatura de la parábola

Cálculo

Dada la parábola

[math] y=-Ax+B;[/math] dónde </math> A=B=2; x ∈ [−1, 1] </math>

Resultando:

[math] y=-2x+2; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|vec{v}(x)vec{a}(x)|}{|vec{v}(x)|^3} [/math]

</math> Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando: \(\vec{r}\)= xvec{i}+f(x)vec{j}+0vec{k} </math>

[math] vec{v}(x)=vec{i}+f'(x)vec{j} [/math]

[math] vec{a}(x)=f''(x)vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} /vec i & /vec j & /vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: </math> |vec{v}(x)|^3= (sqrt{1^2 + (f(x))^2}^{3/2}) </math>

[math] f(x)=-2x^2+2 [/math]

[math] f'(x)=-4x [/math]

[math] f''(x)=-4 [/math]

Sustituyendo la curvatura finalmente es:

[math] \kappa(x)=\frac{|-4|}{1+(4x^2)^{3/2}} [/math]

Código MATLAB y representación gráfica

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura: