Revisión del 14:49 7 dic 2024

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Gradiente del campo escalar en el sistema cilindrico parabólico

Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,0)\).

Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,0)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:

El campo es simplemente sustituir \(x_2=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

El punto se adjunta la siguiente demostracion: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \)y a \(v^2\) respectivamente

sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} 2x_1 =p-q (1)\\ x_2^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

dejamos en función de \(q\) a la ecuación (1) [math]q=p-2x_1[/math]

posteriormente sustituimos esta nueva ecuacion en la ecuacion (2)

\(p^2\)-\(2x_1p\)=\(x_2^2\)

sacamos las raices de \(p\):

[math]p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2} p_2=No valida por ser negativa \((u, v, z) = (1 ,1 ,1)\). \( \textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\) \ltmath\gt\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z} \lt\math\gt donde: \ltmath\gt h_u=h_v=\sqrt{x_1^2+x_2^2} ; h_z=1 [/math]

expresandolos en coordenadas clilindricas parabolicas serían:

[math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} ; h_z=1 [/math]

Las derivadas parciales correspondientes serian:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente si sustitumos el punto en el gradiente se nos quedaria la siguiente expresion:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]