Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (Grupo 4)»

Revisión del 18:36 6 dic 2024

1 Introducción

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes. En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

2 Campo de velocidades

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas:
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice.
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos.
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right )[/math] como [math]\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math], donde:

[math]\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 [/math]
[math]0\leq z\leq z_{0}[/math]

% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');

Campo de Velocidades del Huracán Camille

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

3.1 Divergencia del campo de velocidades

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math]

donde:
[math]v_{r}=0[/math] [math][/math] [math]v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\ \end{Bmatrix} \\[/math] [math][/math] [math]v_{z}=0[/math]

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

[math]\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Sustituyendo las componentes:
[math]\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Ya que [math]v_{r}=0[/math] [math]v_{z}=0[/math]
Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente [math]\upsilon _{\theta}(\rho )[/math]

[math]\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0[/math]

dado que [math]\upsilon _{\theta}(\rho )[/math] no depende de [math]\theta[/math], el término de derivada con respecto a [math]\theta[/math] es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es [math]\triangledown .V=0[/math]

Significado físico de la soluión

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

3.2 Rotacional del campo de velocidades

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

• [math]\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z} \end{vmatrix}[/math]

Sustituyendo [math]v_{r}[/math] , [math]v_{\theta}[/math], [math]v_{z}[/math] ;

[math]\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\ 0& si & r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección [math]\vec{e_{z}}[/math] cuando [math] r \leq R [/math] y nula para todos los puntos [math] r\gt R[/math]

Significado físico de la soluión

1. Dentro del núcleo: Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad.
2. En el exterior: El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje.

Rotacional Campo de Velocidades

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice [math] r \leq R [/math] las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo [math] r\gt R[/math] disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo [math] r \leq R [/math] y se anula fuera [math] r\gt R[/math]

% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0;     % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81;    % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200);  % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200);  % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R);         % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta);  % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0;                  % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

4 Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice: En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice: En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

5 Campo de presión

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por:
[math]p(r,z)= \begin{Bmatrix} P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\ P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]
Donde [math]P_{0}[/math] es la presión del centro del ojo, [math]P_{\infty}[/math] es la presión atmosférica estándar, [math] \rho [/math] es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y [math]\upsilon_{\theta }[/math] es la velocidad tangencial del vórtice.

Código del campo de presión en un plano vertical:

% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300;    % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89;  % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000;    % Altura inicial, en metros (15 km)   
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura  
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar  
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));  
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
      if RR(i) <= R
          P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
      else
          P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
      end
  end
   % Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');

Campo de presión plano vertical

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación 
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
     P_level = pressure_steps(p_idx);
     % Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
     clf; % Limpiar gráfica
     surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
     % Resaltar el plano de presión actual
     hold on;
     contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
     % Configurar el gráfico
     title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
     xlabel('r (m)');
     ylabel('z (m)');
     zlabel('Presión (Pa)');
     xlim([0, max(r)]);
     ylim([0, z0]);
     zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
     view(0, 90);% Vista 3D
     colorbar;
     % Actualizar la gráfica
     drawnow;
     pause(0.1);
 end

"Animación campo de presiones"

6 Campo del gradiente de presión

El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación:
[math] v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})[/math] Corte por un plano vertical: El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. Corte por un plano horizontal: El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300;     % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89;   % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000;    % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100);  % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
    if RR(i) <= R
        P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
    else
        P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
    end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz;  % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;

Campo de presión plano vertical

7 Flujo de masa

El flujo de masa, [math]\dot{m}[/math], se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por [math]0 \leq r \leq 2R[/math], [math]0 \leq \theta \leq 2\pi[/math], [math]z \in [0, z_0][/math]. El flujo de masa se expresa como:

[math]\qquad\qquad\qquad \dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS [/math]

donde:
- [math]\rho[/math] es la densidad del aire,
- [math]\vec{v}[/math] es el campo de velocidad,
- [math]\vec{n}[/math] es el vector normal a la superficie,
- [math]dS[/math] es el elemento de área.
Simplificaciones:
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal ([math]z = 0[/math]):
[math]\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } [/math]
Aquí, [math]v_r = 0[/math], por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en [math]z[/math]:
[math]\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }[/math]
donde [math]v_z = 0[/math]. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];

8 Aplicaciones en huracanes

El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas. El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana. La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:

• Presión mínima: 902 milibares
• Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
• Radio del ojo: aproximadamente 24 km

9 Vórtices

• Vórtice Incompresible

Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal. Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.

• Vórtice Físico

Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo. Remolino en un río. Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.

• Vórtice Ideal

Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación). Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.

• Vórtice de Carga

Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen. Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.

• Vórtice de Fuga (Tornado)

Estructuras de vórtices con una fuerte rotación. Ejemplo: Tornados, ciclones.

• Vórtice de Faraday

Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto. Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.

• Vórtice en Fluidos Superfluidos

Vórtices en fluidos sin disipación de energía. Ejemplo: Helio superfluido.

• Vórtices en Átomos Fríos

Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas. Ejemplo: Gases ultrafríos.