Diferencia entre revisiones de «La catenaria. Grupo 9»

Revisión del 16:09 5 dic 2024

1 Curva: la catenaria

2 Vectores velocidad y aceleración

3 Longitud de la curva

4 Vectores tangente y normal

5 Curvatura

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Propiedades circunferencia osculatriz

Una circunferencia osculatriz a una curva es aquella que, en un punto específico, tiene la misma curvatura que la curva y cuyo centro se sitúa en la recta normal a esta en el punto dado. En este punto y sus proximidades, la circunferencia nos proporciona una gran aproximación de la curva.

6.2 Cálculo radio y centro circunferencia osculatriz

En el caso de la catenaria [math] γ(t) [/math] siendo t=0.5 se obtiene el siguiente centro:

[math]\vec{C}(t) = \vec{\gamma}(t) + \frac{1}{\kappa(t)} \cdot \vec{n}(t)[/math] [math]=\begin{pmatrix} t \\ 2\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \end{pmatrix} + 2\cosh^2\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \frac{1}{\cosh\left(\frac{t}{2}\right)} \begin{pmatrix} -\sinh\left(\frac{t}{2}\right) \\ 1 \end{pmatrix}[/math]

Obteniendo:

[math]\vec{C}(0.5) = \begin{pmatrix} -0.0211 \\ 4.1256 \end{pmatrix}[/math]

Para obtener el radio de la circunferencia osculatriz, se necesita la curvatura de la catenaria calculada en el apartado anterior. Así, el radio, será la inversa de esta.

Como: [math]\kappa(t) = \frac{1}{2 \cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)}[/math]

El radio obtenido es el siguiente:

[math]r(0.5) = \frac{1}{\kappa(0.5)} = \frac{1}{0.4700} = 2.1276[/math]

6.3 Representación gráfica circunferencia osculatriz

Circunferencia osculatriz

% Parametrización catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
xcat = t;
ycat = 2 * cosh(t / 2);

% Obtención radio y centro de curvatura
t_circ = 0.5;
K = 1 / (2 * (cosh(t_circ / 2))^2);
r = 1 / K; % radio
norm = (1 / (cosh(t_circ / 2))) * [-sinh(t_circ / 2), 1];
C = [t_circ, 2 * cosh(t_circ / 2)] + (1 / K) * norm; % Centro de curvatura

% Parametrización circunferencia
theta = linspace(0, 2 * pi, 100);
xcirc = C(1) + r * cos(theta);
ycirc = C(2) + r * sin(theta);

% Dibujo circunferencia y catenaria
figure;
hold on;
plot(xcirc, ycirc);
plot(xcat, ycat);
axis equal;
grid on;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y catenaria');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off;

legend(['Circunferencia', 'Catenaria']);

7 Fenómeno descrito

8 Usos en la ingeniería civil

9 Catenaria y parábola

10 Superficie de revolución: el catenoide

10.1 Parametrización e importancia del catenoide

La catenoide es una superficie mínima o superficie minimal. Estos elementos bidimensionales tienen la propiedad de minimizan localmente su superficie, teniendo en cuenta algunas restricciones. Esto quiere decir que cualquier deformación por pequeña que sea aumentaría su superficie. Este tipo de superficies fueron propuestas en el siglo XVIII por Lagrange mediante una ecuación diferencial, pero no se probó que el catenoide pertenecía a esta familia hasta unos años más tarde.

La parametrización de la catenaria en coordenadas cartesianas en \( \mathbb{R}^3 \) es la siguiente:

[math] \gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, \cosh(t), t), \quad t \in (-1, 1) [/math]

Para obtener la superficie, se parametriza la catenoide de la siguiente manera:

[math] \phi(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (\cosh(u) \cdot \cos(v), \cosh(u) \cdot \sin(v), u) [/math]

10.2 Representación gráfica catenoide

Catenoide

% Parametrización de la superficie
u=linspace(-1,1,100)
v=linspace(0,2*pi,100)
[U,V]=meshgrid(u,v)
X=cosh(U).*cos(V)
Y=cosh(U).*sin(V)
Z=U
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X,Y,Z)
title('Superficie de Revolución de la catenaria: catenoide');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
axis equal;
shading flat;
grid on;

11 Masa de la catenoide