Revisión del 13:37 5 dic 2024

Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas, que se denotan por (u, v, z). Estas tienen la siguiente relación con las coordenadas cartesianas (x₁, x₂, x₃):

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\ x_2 &= uv, \\ x_3 &= z, \end{aligned} [/math]

donde u > 0.

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son una generalización de las coordenadas cilíndricas estándar y extienden un cambio de coordenadas en R² a todo el espacio R³. A continuación, se presentan los cálculos, representaciones y aplicaciones.

Contenido 1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) 1.1 Código MATLAB y representación 2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) 2.1 Código MATLAB y representación: 3 Matrices de Cambio de Base 4 Expresar el campo posicion \(\vec{r}\) en el sistema cilindrico parabolico 5 Gradiente de un campo escalar 6 Divergencia 7 Rotacional 8 Superficies de nivel 9 Curvatura de una parábola 9.1 Cálculo de la curvatura de la parábola 9.1.1 Fórmula de la curvatura 9.1.2 Derivadas de la curva 9.1.3 Producto vectorial 9.1.4 Magnitud de la velocidad 9.1.5 Expresión de la curvatura 9.2 Resultados 9.3 Gráfica en MATLAB 9.4 Problema 9 10 Uso de la parábola en ingeniería 10.1 Puentes 10.2 Elementos arquitectónicos 10.3 Presas 10.4 Carreteras 10.5 Ventajas generales de la parábola

Figura 1: Coordenadas Cilindricas Parabolicas.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Líneas coordenadas en cartesianas:

• \(\gamma_u\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con t variable y v, z constantes.
• \(\gamma_v\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con t variable y u, z constantes.
• \(\gamma_z\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con t variable y u, v constantes.

1.1 Código MATLAB y representación

Figura 2: Líneas coordendas.

clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Cálculos: Los campos velocidad de las líneas coordenadas son:

• Para γₐ:

[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right) \Rightarrow \gamma'_u = v \vec{i} + u \vec{j}.[/math].

• Para γᵥ:

[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right) \Rightarrow \gamma'_v = u \vec{i} - v \vec{j}.[/math].

• Para γ_z:

[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right) \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}[/math].

Factores de escala: Los factores de escala h_u, hᵥ, h_z son los módulos de los campos velocidad:

[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = |\gamma_z'(z)| = 1. [/math]

Vectores tangentes: Los vectores tangentes unitarios son:

• [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

2.1 Código MATLAB y representación:

Figura 3: Vectores unitarios Eu Ev.

clear,clc,clf
% Punto de interés
u = 1;
v = 1;

% Vectores unitarios en ese punto
h = sqrt(u^2 + v^2);
eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v

% Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en el plano z = 0
x1_u = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u .* v;

% Gráfico
figure;
hold on;
quiver(x1_u, x2_u, eu(1), eu(2), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver(x1_u, x2_u, ev(1), ev(2), 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(x1_u, x2_u, 'k--', 'LineWidth', 1); % Línea coordenada
title('Vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'e_u', 'e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

Comprobación de Ortonormalidad

Para comprobar que estos vectores forman una base ortonormal:

1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)=0[/math]

2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal.

3 Matrices de Cambio de Base

Las matrices permiten transformar entre las bases cilíndrica parabólica y cartesiana.

• La matriz \( Q \) transforma las coordenadas de la base \(\{e_u, e_v, e_z\}\) al sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & -\frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

• La matriz inversa \( Q^{-1} \) permite transformar vectores en el sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\) al sistema cilíndrico parabólico \(\{e_u, e_v, e_z\}\).

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ -\frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

4 Expresar el campo posicion \(\vec{r}\) en el sistema cilindrico parabolico

Figura 4: Campo Posicion

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Factores de escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.

5 Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar en coordenadas cilíndricas parabólicas es:

Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \).

Transformación de las coordenadas

Sabemos que \( x_2 = uv \), por lo que en términos de \( (u, v, z) \), la función se transforma como sigue:

[math] f(u, v, z) = uv. [/math]

Cálculo de las derivadas parciales Las derivadas parciales de \( f(u, v, z) = uv \) son:

[math] \frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0. [/math]

Cálculo del gradiente \( \nabla f \) El gradiente de \( f \) en coordenadas \( (u, v, z) \) es:

[math] \nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \mathbf{e_u} + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \mathbf{e_v} + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e_z}. [/math]

Sustituyendo las derivadas parciales:

[math] \nabla f = \frac{v}{u^2 + v^2} \mathbf{e_u} + \frac{u}{u^2 + v^2} \mathbf{e_v}. [/math]

Cálculo de las coordenadas \( (u, v, z) \) Las coordenadas \( (u, v, z) \) se obtienen de las ecuaciones de transformación:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Para el punto \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \):

[math] uv = 1, \quad \frac{u^2 - v^2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad u^2 = v^2. [/math]

Por lo tanto:

[math] u = 1, \quad v = 1, \quad z = 1. [/math]

Sustitución en el gradiente

En el punto \( (u, v, z) = (1, 1, 1) \):

[math] h_u = h_v = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad e_u = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right), \quad e_v = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right). [/math]

Sustituyendo en el gradiente:

[math] \nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right). [/math]

Sumando las componentes:

[math] \nabla f = (0, 1, 0). [/math]

Resultado El gradiente de \( f \) en el punto cartesiano \( (0, 1, 1) \) es:

[math] \nabla f = (0, 1, 0). [/math]

6 Divergencia

La divergencia en este sistema es: [math] \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]. [/math]

Ejemplo: calcular la divergencia del campo posición.

Divergencia del campo posición.

Campo vectorial y divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

Divergencia del campo vectorial en coordenadas cilíndrico-parabólicas

La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se define como:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}. [/math]

Donde las componentes del campo vectorial \( \mathbf{r} \) son:

[math] r_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Paso 1: Derivada respecto a \( u \)

Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \) respecto a \( u \):

[math] \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) = \frac{3u^2 + v^2}{2}. [/math]

Paso 2: Derivada respecto a \( v \)

Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \) respecto a \( v \):

[math] \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) = \frac{u^2 + 3v^2}{2}. [/math]

Paso 3: Derivada respecto a \( z \)

La derivada de \( r_z = z \) respecto a \( z \) es:

[math] \frac{\partial r_z}{\partial z} = 1. [/math]

Paso 4: Sustitución en la fórmula de la divergencia

Sustituyendo todos los términos en la fórmula de la divergencia:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{3u^2 + v^2}{2} + \frac{u^2 + 3v^2}{2} \right] + 1. [/math]

Simplificando:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot 2(u^2 + v^2) + 1 = 2 + 1 = 3. [/math]

Resultado Final

La divergencia del campo posición \( \mathbf{r} \) es:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = 3. [/math]

7 Rotacional

Cálculo del Rotacional en Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

En coordenadas cilíndricas parabólicas, los factores de escala son:

[math] h_u = h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1 [/math]

Por lo tanto:

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 \cdot 1 = u^2 + v^2 [/math]

La fórmula para el rotacional en coordenadas ortogonales es:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} h_u e_u & h_v e_v & h_z e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{vmatrix} [/math]

Sustituyendo los factores de escala:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{vmatrix} \sqrt{u^2 + v^2} e_u & \sqrt{u^2 + v^2} e_v & e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2} F_u & \sqrt{u^2 + v^2} F_v & F_z \end{vmatrix} [/math]

Con las componentes del campo:

[math] F_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = z [/math]

Cálculo por Componentes

Componente [math]e_u[/math]

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) [/math]

[math]\frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0[/math] [math]\frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_v) = 0[/math], porque [math]F_v[/math] no depende de [math]z[/math].

Por lo tanto:

[math] e_u = 0 [/math]

Componente [math]e_v[/math]

[math] e_v = \frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) [/math]

[math]\frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_u) = 0[/math], porque [math]F_u[/math] no depende de [math]z[/math].

[math]\frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0[/math].

Por lo tanto:

[math] e_v = 0 [/math]

Componente [math]e_z[/math]

[math] e_z = \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) [/math]

Derivada de [math]h_v F_v[/math] con respecto a [math]u[/math]:

[math] h_v F_v = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{v u^2 + v^3}{2} [/math]

Entonces:

[math] \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2 + v^3}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v^3}{2} \right) = v \cdot u [/math]

Derivada de [math]h_u F_u[/math] con respecto a [math]v[/math]:

[math] h_u F_u = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{u^3 + uv^2}{2} [/math]

Entonces:

[math] \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3 + uv^2}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{uv^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3}{2} \right) = u \cdot v [/math]

Por lo tanto:

[math] e_z = v u - u v = 0 [/math]

Resultado Final

El rotacional es:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = 0 \cdot e_u + 0 \cdot e_v + 0 \cdot e_z = \mathbf{0} [/math]

Esto significa que el campo [math]\mathbf{F}[/math] es irrotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas.

8 Superficies de nivel

Las superficies de nivel para los campos escalares son:

• f₁(u, v, z) = u: Superficie parabólica.
• f₂(u, v, z) = v: Superficie parabólica.
• f₃(u, v, z) = z: Plano horizontal.

Superficies de nivel de campos escalares

Superficies de nivel en cartesianas:

- Para el campo escalar \( f_1(u, v, z) = u \): [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{C_1^2 - v^2}{2}, \, c_1 v, \, z \right), \quad \text{con } v, z \text{ variables y } u = c_1 \text{ constante.} [/math]

- Para el campo escalar \( f_2(u, v, z) = v \): [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - c_2^2}{2}, \, u c_2, \, z \right), \quad \text{con } u, z \text{ variables y } v = c_2 \text{ constante.} [/math]

- Para el campo escalar \( f_3(u, v, z) = z \): [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, \, u v, \, c_3 \right), \quad \text{con } u, v \text{ variables y } z = c_3 \text{ constante.} [/math]

Código de MATLAB y representación: Coordenadas cilíndricas parabólicas

Superficie de nivel f₁

Superficie de nivel f₂

Superficie de nivel f₃

clc; clear;



% Rango para u y v
[u, v] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);


% --- 1. Superficie de nivel f1(u, v, z) = u ---    
figure;
z1 = 0; % Fijar z como constante para esta superficie
x1 = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2 = u .* v;
x3 = z1 * ones(size(u)); % Mantener z constante
surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none');

title('Superficie de nivel: f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');

colormap turbo;

axis equal;
grid on;


% --- 2. Superficie de nivel f2(u, v, z) = v ---    
figure;
z2 = 0; % Fijar z como constante para esta superficie
x1 = (u.^2 - z2.^2) / 2; % Aquí reemplazamos v con un plano constante z
x2 = u .* z2;
x3 = v; % Usamos v directamente como dimensión libre
surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none');

title('Superficie de nivel: f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');

colormap winter;
axis equal;
grid on;


 


% --- 3. Superficie de nivel f3(u, v, z) = z ---  
figure;
z3 = 1; % Valor constante para z
x1 = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2 = u .* v;
x3 = z3 * ones(size(u)); % Mantener z constante

surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none');
title('Superficie de nivel: f_3(u, v, z) = z');

xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
colormap autumn;
axis equal;
grid on;

9 Curvatura de una parábola

La parábola es: [math] y = -2x^2 + 2. [/math]

Curvatura: La curvatura es: [math] \kappa(x) = \frac{|y''(x)|}{(1 + (y'(x))^2)^{3/2}}. [/math] Evaluar y graficar κ(x) en MATLAB para x ∈ [-1, 1].

---

9.1 Cálculo de la curvatura de la parábola

La parábola está definida por la ecuación \( y = -Ax^2 + B \), donde los valores de los parámetros son \( A = 2 \) y \( B = 2 \). Esto se puede representar paramétricamente como: \[ \mathbf{r}(t) = (t, -2t^2 + 2). \]

9.1.1 Fórmula de la curvatura

La curvatura de una curva paramétrica está dada por: \[ \kappa(t) = \frac{\|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3}, \] donde: - \( \mathbf{r}'(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} \) es la primera derivada. - \( \mathbf{r}(t) = \frac{d^2\mathbf{r}(t)}{dt^2} \) es la segunda derivada.

9.1.2 Derivadas de la curva

Para \( \mathbf{r}(t) = (t, -2t^2 + 2) \), las derivadas son: \[ \mathbf{r}'(t) = (1, -4t), \] \[ \mathbf{r}(t) = (0, -4). \]

9.1.3 Producto vectorial

El producto vectorial para curvas en el plano se reduce a la magnitud de: \[ \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}(t) = \left| \begin{matrix} -4t & 0 \\ -4 & 0 \end{matrix} \right| = -4. \]

9.1.4 Magnitud de la velocidad

La magnitud del vector velocidad es: \[ \|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{1 + (4t)^2}. \]

9.1.5 Expresión de la curvatura

Sustituyendo en la fórmula, obtenemos: \[ \kappa(t) = \frac{4}{\left(1 + 16t^2\right)^{3/2}}. \]

9.2 Resultados

- **Mayor curvatura:** Ocurre en \( t = 0 \), donde: \[ \kappa(0) = 4. \] - **Menor curvatura:** Ocurre en los extremos del intervalo, \( t = \pm 1 \), donde: \[ \kappa(1) = \kappa(-1) = \frac{4}{\sqrt{17}^3}. \]

9.3 Gráfica en MATLAB

 % Parámetros A = 2; B = 2; % Intervalo de t t = linspace(-1, 1, 100); % Curvatura κ(t) kappa = 4 ./ (1 + 16*t.^2).^(3/2); % Gráfica figure; plot(t, kappa, 'LineWidth', 2); xlabel('t'); ylabel('\kappa(t)'); title('Curvatura de la parábola'); grid on; % Identificación de puntos de mayor y menor curvatura [max_kappa, idx_max] = max(kappa); [min_kappa, idx_min] = min(kappa); hold on; plot(t(idx_max), max_kappa, 'ro', 'DisplayName', 'Mayor curvatura'); plot(t([1, end]), min_kappa, 'bo', 'DisplayName', 'Menor curvatura'); legend; hold off;

9.4 Problema 9

Determinar la curvatura \( h(t) \).

Ecuación de la parábola

[math] y = -Ax^2 + B [/math] Donde:

• [math]A = 2[/math]
• [math]B = 2[/math]
• [math]x \in [-1, 1][/math]

Ecuación particular

[math] y = -2x^2 + 2 [/math]

Parametrización

[math] \gamma(t) = (t, -2t^2 + 2, 0) [/math] Con: [math]t \in [-1, 1][/math]

Fórmula de la curvatura

[math] k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3} [/math]

Cálculos de las derivadas

1. Primera derivada: [math] \gamma'(t) = (1, -4t, 0) [/math]

2. Segunda derivada: [math] \gamma''(t) = (0, -4, 0) [/math]

Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y [math] \gamma''(t) [/math]

[math] \gamma'(t) \times \gamma''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\ 1 & -4t & 0 \\ 0 & -4 & 0 \end{vmatrix} = (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-4)\mathbf{\vec{k}} [/math]

[math] \gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -4) [/math]

Magnitud del producto cruz

[math] \| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4 [/math]

Magnitud de \( \gamma'(t) \)

[math] \| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-4t)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 16t^2} [/math]

Curvatura

[math] k(t) = \frac{4}{(1 + 16t^2)^{3/2}} [/math]

Evaluación en puntos específicos

1. Para [math]t = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}} [/math]

2. Para [math]t = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}} [/math]

3. Para [math]t = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{4}{(1)^{3/2}} = 4 [/math]

Conclusión

La mayor curvatura se encuentra en el vértice de la parábola, y tiene un valor de 4 .

La menor curvatura se encuentra cuando [math]t = -1 & t = 1[/math], en estos puntos, la curvatura tiene un valor de [math]\frac{4}{17^{3/2}}[/math]

10 Uso de la parábola en ingeniería

La parábola es una figura geométrica que desempeña un papel crucial en el diseño y construcción de diversas estructuras de ingeniería civil. Su capacidad para distribuir fuerzas de manera eficiente y proporcionar estabilidad estructural ha llevado a su adopción en puentes, carreteras, edificios y presas. A continuación, se detalla cómo se aplica y cuáles son sus beneficios en cada ámbito.

10.1 Puentes

La parábola es particularmente relevante en los puentes colgantes y de arco, dos de las tipologías más icónicas en la ingeniería civil:

Figura X: Puente colgante.

• Puentes colgantes:

  - Los cables principales de un puente colgante adoptan una curva parabólica, lo que permite una distribución uniforme de las fuerzas de compresión y tensión.  
  - Esta configuración transfiere las fuerzas de compresión hacia las torres de soporte de manera eficiente, optimizando la estabilidad de la estructura.  

Figura X: Puente de arco.

• Puentes de arco:

  - Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para repartir las cargas de manera equitativa.  
  - Su diseño permite abarcar espacios más amplios en comparación con otros tipos de arcos, lo que resulta ideal para proyectos de gran envergadura. 
  - La parábola contribuye a un mayor empuje en la base del arco, incrementando la estabilidad general del puente.

10.2 Elementos arquitectónicos

En el ámbito arquitectónico, la parábola es un elemento recurrente en la creación de estructuras innovadoras y funcionales:

Figura X: Cubierta estructural.

• Cubiertas estructurales:

  - Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para diseñar cubiertas ligeras pero resistentes.  
  - Estas formas permiten un aprovechamiento eficiente de los materiales, combinando ligereza y durabilidad.  

Figura X: Arco parabolico estadio.

• Arcos parabólicos:

  - Usados en grandes espacios como estadios y centros comerciales, ofrecen una distribución eficiente de las cargas estructurales.  
  - Permiten diseños arquitectónicos más audaces, combinando funcionalidad y estética.

10.3 Presas

Las presas también se benefician del uso de la parábola, especialmente en términos de resistencia y funcionalidad:

Figura X: Presa.

• Perfil estructural:

  - La forma parabólica distribuye la presión del agua de manera uniforme, lo que contribuye a la estabilidad de la presa.  

• Vertederos:

  - Los diseños parabólicos optimizan el flujo del agua, minimizando la erosión y reduciendo el impacto sobre el medio ambiente.  

• Estabilidad estructural:

  - Las curvas parabólicas mejoran la capacidad de la presa para resistir fuerzas horizontales, como las producidas por el empuje del agua.

10.4 Carreteras

En el diseño de carreteras, la parábola se utiliza para crear trayectorias suaves y transiciones graduales que mejoran la seguridad y comodidad del usuario:

Figura X: Carretera en forma de parabola

• Perfiles verticales:

  - Especialmente en terrenos montañosos, las parábolas facilitan la adaptación del trazado a la topografía, reduciendo el desgaste del vehículo y el consumo de combustible.  

• Curvas de transición:

  - Estas aseguran un cambio progresivo entre pendientes, minimizando los riesgos asociados con cambios bruscos de inclinación.  

• Diseño de rampas:

  - Las parábolas optimizan la inclinación y aprovechan eficientemente el espacio disponible.  

10.5 Ventajas generales de la parábola

1) Eficiencia estructural: Permite una distribución óptima de las fuerzas, lo que reduce la necesidad de material sin comprometer la resistencia.

2) Versatilidad: Su adaptabilidad la hace adecuada para diversas escalas y tipos de construcciones.

3) Estética: Aporta un atractivo visual que se combina con diseños innovadores y funcionales.

4) Economía: Al requerir menos material, reduce costos de construcción y mantenimiento.

5) Resistencia: Su capacidad para distribuir fuerzas de forma uniforme incrementa la durabilidad de las estructuras.