Diferencia entre revisiones de «La catenaria. Grupo 9»
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Revisión del 11:01 5 dic 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La catenaria. Grupo 9 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores |
|
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Curva: la catenaria
2 Vectores velocidad y aceleración
3 Longitud de la curva
4 Vectores tangente y normal
5 Curvatura
6 Circunferencia osculatriz
6.1 Propiedades circunferencia osculatriz
Una circunferencia osculatriz a una curva es aquella que, en un punto específico, tiene la misma curvatura que la curva y cuyo centro se sitúa en la recta normal a esta en el punto dado. En este punto y sus proximidades, la circunferencia nos proporciona una gran aproximación de la curva.
6.2 Cálculo radio y centro circunferencia osculatriz
En el caso de la catenaria [math] γ(t) [/math] siendo t=0.5 se obtiene el siguiente centro:
[math]\vec{C}(t) = \vec{\gamma}(t) + \frac{1}{\kappa(t)} \cdot \vec{n}(t)[/math] [math]=\begin{pmatrix} t \\ 2\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \end{pmatrix} + 2\cosh^2\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \frac{1}{\cosh\left(\frac{t}{2}\right)} \begin{pmatrix} -\sinh\left(\frac{t}{2}\right) \\ 1 \end{pmatrix}[/math]
Obteniendo:
[math]\vec{C}(0.5) = \begin{pmatrix} -0.0211 \\ 4.1256 \end{pmatrix}[/math]
Para obtener el radio de la circunferencia osculatriz, se necesita la curvatura de la catenaria calculada en el apartado anterior. Así, el radio, será la inversa de esta.
Como: [math]\kappa(t) = \frac{1}{2 \cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)}[/math]
El radio obtenido es el siguiente:
[math]r(0.5) = \frac{1}{\kappa(0.5)} = \frac{1}{0.4700} = 2.1276[/math]
6.3 Representación gráfica circunferencia osculatriz
% Parametrización catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
xcat = t;
ycat = 2 * cosh(t / 2);
% Obtención radio y centro de curvatura
t_circ = 0.5;
K = 1 / (2 * (cosh(t_circ / 2))^2);
r = 1 / K; % radio
norm = (1 / (cosh(t_circ / 2))) * [-sinh(t_circ / 2), 1];
C = [t_circ, 2 * cosh(t_circ / 2)] + (1 / K) * norm; % Centro de curvatura
% Parametrización circunferencia
theta = linspace(0, 2 * pi, 100);
xcirc = C(1) + r * cos(theta);
ycirc = C(2) + r * sin(theta);
% Dibujo circunferencia y catenaria
figure;
hold on;
plot(xcirc, ycirc);
plot(xcat, ycat);
axis equal;
grid on;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y catenaria');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off;
legend(['Circunferencia', 'Catenaria']);
7 Fenómeno descrito
8 Usos en la ingeniería civil
9 Catenaria y parábola
10 Superficie de revolución: el catenoide
10.1 Parametrización e importancia del catenoide
La catenoide es una superficie mínima o superficie minimal. Estos elementos bidimensionales tienen la propiedad de minimizan localmente su superficie, teniendo en cuenta algunas restricciones. Esto quiere decir que cualquier deformación por pequeña que sea aumentaría su superficie. Este tipo de superficies fueron propuestas en el siglo XVIII por Lagrange mediante una ecuación diferencial, pero no se probó que el catenoide pertenecía a esta familia hasta unos años más tarde. La parametrización de la catenaria en coordenadas cartesianas en \( \mathbb{R}^3 \) es la siguiente:
La parametrización de la catenaria en coordenadas cartesianas en \( \mathbb{R}^3 \) es la siguiente:
[math] \gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, \cosh(t), t), \quad t \in (-1, 1) [/math]
Para obtener la superficie, se parametriza la catenoide de la siguiente manera:
[math] \phi(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (\cosh(u) \cdot \cos(v), \cosh(u) \cdot \sin(v), u) [/math]
