Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (Grupo 19)»

Revisión del 22:10 3 dic 2024

1 Introducción

El vórtice de Rankine es un modelo teórico desarrollado por el físico William John Macquorn Rankine utilizado en la dinámica de fluidos para modelar el movimiento de un fluido en un vórtice ideal. Incluye dos tipos de comportamiento. En el núcleo del vórtice, el fluido gira como un sólido rígido con velocidad angular constante. Fuera del núcleo, el fluido se comporta como un vórtice libre, donde la velocidad disminuye (hasta ser irrotacional) conforme aumenta la distancia al centro.

Este modelo se utiliza para estudiar fenómenos como huracanes, tornados o corrientes giratorias, así como en el análisis de fluidos en turbinas u otros procesos industriales donde se forman vórtices. En este trabajo analizaremos el huracán Camille, que azotó Estados Unidos en el año 1969.

2 Campo de velocidad

El campo de velocidad puede describirse en dos regiones diferentes: el núcleo del vórtice y la parte exterior de este. Se define en coordenadas cilíndricas (𝜌,𝜽,z) como V⃗ = v𝜌e⃗𝜌 + v𝜽e⃗𝜽 + vze⃗z , donde:

¿Por qué la gráfica en un plano paralelo al suelo es mas favorable?

Esto se debe a que los vórtices de este tipo suelen tener una estructura que visualiza mas fácilmente en un plano horizontal (en el plano (r,θ) enes caso). A nivel del suelo, el vórtice se analiza principalmente observando como cambia la velocidad tangencial y la presión, sin considerar los efectos de la componente vertical en la dirección z. La componente vertical esta relacionada con la altura del ojo del vórtice. En este caso no es necesaria ya que estamos observando únicamente las dos regiones donde la velocidad se comporta en diferentes formas. Ademas este tipo de visualización del vórtice ayuda a la hora de realizar propiedades relacionadas con la circulación, ya que se puede observar claramente las lineas de flujo.

% Parámetros del huracán Camille
 R = 46.3; % Radio del núcleo en km
 v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
 Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
 n = 100; % Número de puntos
 rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
 theta = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
 [Mrho, Mtheta] = meshgrid(rho, theta); % Mallado en coordenadas polares
 x = Mrho .* cos(Mtheta); % Coordenadas x
 y = Mrho .* sin(Mtheta); % Coordenadas y

 % Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior

% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtheta);
Vy = Vtheta .* cos(Mtheta);

% Grafica
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine del Huracán Camille');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');

La gráfica (figure 1) muestra dos zonas: una interna, cuando r≤R (representada en rojo) donde la velocidad tangencial es constante y otra externa, cuando r≥R (representada en azul) donde la velocidad disminuye con el radio. Se puede apreciar con facilidad las dos zonas distintas gracias al uso de una gráfico en el plano (r,θ).

Dato interesante: La segunda gráfica (figure 2) muestra cómo la velocidad del vórtice varia con respecto al aumento del radio. Sin embargo es lo único que se puede observar ya que no se aprecian ni las lineas de flujo, ni la distribución de velocidades, por eso utilizamos trafico mostrando el plano horizontal.

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

DIVERGENCIA
La divergencia de un campo de velocidades representa la tasa de contracción y expansión del flujo en un punto conocido. En el vórtice de Rankine el campo dado es incompresible, debido a que no hay cambio en el volumen del flujo. Esto implica que el flujo no crea ni elimina volumen, circula alrededor del eje. Este comportamiento es típico de los vórtices, en los cuales el fluido rota sin comprimirse ni expandirse. La divergencia en coordenadas cilíndricas para un campo de velocidad:

[math]\triangledown .\vec{V}(r,\theta ,z)= \frac{1}{r }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial r}(r \upsilon _{r}) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Donde:

[math]\upsilon _{r }[/math] es la componente radial de la velocidad.

[math]\upsilon _{\theta }[/math] es la componente tangencial de la velocidad.

[math]\upsilon _{z }[/math] es la componente vertical de la velocidad.

En el caso del vortice de rankine:

En el interior del vortice: [math]\upsilon _{r }[/math]=0 y [math]\upsilon _{z }[/math] = 0 (no hay ni flujo vertical ni radial).
En el caso de la componente tangencial [math]\upsilon _{\theta }[/math] depende de r, por lo tanto la derivada con respecto a {\theta } es cero.
Por lo tanto el resultado de la divergencia del vortice de rankine es:

[math]\triangledown .\vec{V}(r,\theta ,z)=0[/math]
Demostrando que el campo es incompresible.

[math] \vec{\nabla} \times \vec{v} = \left( \frac{1}{r} \frac{\partial v_z}{\partial r} - \frac{\partial v_r}{\partial z} \right) \hat{e_r} + \left( \frac{\partial v_r}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial r} \right) \hat{e_\theta} + \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r}(r v_\theta) - \frac{\partial v_r}{\partial \theta} \right) \hat{e_z}\ [/math]

[math]\ \vec{\nabla} \times \vec{v} = \frac{\Gamma}{2 \pi r^2} \hat{e_z} [/math]