Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (Grupo 19)»
(→Divergencia y rotacional del campo de velocidades) |
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\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ | \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ | ||
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Revisión del 20:40 3 dic 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | El vórtice de Rankine (Grupo 19) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Carlota Bascón Claudia Sanz Carlos Mínguez Ana Aboitiz Javier Romero |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
El vórtice de Rankine es un modelo teórico desarrollado por el físico William John Macquorn Rankine utilizado en la dinámica de fluidos para modelar el movimiento de un fluido en un vórtice ideal. Incluye dos tipos de comportamiento. En el núcleo del vórtice, el fluido gira como un sólido rígido con velocidad angular constante. Fuera del núcleo, el fluido se comporta como un vórtice libre, donde la velocidad disminuye (hasta ser irrotacional) conforme aumenta la distancia al centro.
Este modelo se utiliza para estudiar fenómenos como huracanes, tornados o corrientes giratorias, así como en el análisis de fluidos en turbinas u otros procesos industriales donde se forman vórtices. En este trabajo analizaremos el huracán Camille, que azotó Estados Unidos en el año 1969.
2 Campo de velocidad
El campo de velocidad puede describirse en dos regiones diferentes: el núcleo del vórtice y la parte exterior de este. Se define en coordenadas cilíndricas (𝜌,𝜽,z) como V⃗ = v𝜌e⃗𝜌 + v𝜽e⃗𝜽 + vze⃗z , donde:
¿Por qué la gráfica en un plano paralelo al suelo es mas favorable?
Esto se debe a que los vórtices de este tipo suelen tener una estructura que visualiza mas fácilmente en un plano horizontal (en el plano (r,θ) enes caso). A nivel del suelo, el vórtice se analiza principalmente observando como cambia la velocidad tangencial y la presión, sin considerar los efectos de la componente vertical en la dirección z. La componente vertical esta relacionada con la altura del ojo del vórtice. En este caso no es necesaria ya que estamos observando únicamente las dos regiones donde la velocidad se comporta en diferentes formas. Ademas este tipo de visualización del vórtice ayuda a la hora de realizar propiedades relacionadas con la circulación, ya que se puede observar claramente las lineas de flujo.
Figure 1
Figure 2
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La gráfica (figure 1) muestra dos zonas: una interna, cuando r≤R (representada en rojo) donde la velocidad tangencial es constante y otra externa, cuando r≥R (representada en azul) donde la velocidad disminuye con el radio. Se puede apreciar con facilidad las dos zonas distintas gracias al uso de una gráfico en el plano (r,θ).
Dato interesante: La segunda gráfica muestra cómo la velocidad del vórtice varia con respecto al aumento del radio. Sin embargo es lo único que se puede observar ya que no se aprecian ni las lineas de flujo, ni la distribución de velocidades, por eso utilizamos trafico mostrando el plano horizontal.
3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades
La divergencia en coordenadas cilíndricas para un campo de velocidad
[math]\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ \end{Bmatrix}[/math]
La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807, pero no sería hasta 1822 cuando la academia decidió publicarla. Esta ecuación es un modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y del espacio. En matemáticas representa una ecuación parabólica, dada por una ecuación en derivadas parciales lineales de segundo orden y de coeficientes constantes:
donde a=-1; e=1; b=c=d=f=0. Consideramos una varilla de longitud L de un cierto material, de grosor constante. Está orientada en la dirección del eje x, desde x=0 a x=L. La varilla es conductora de calor,por lo que entre dos zonas de ella a diferente temperatura hay un intercambio de energía térmica en forma de calor. En nuestro caso, consideramos una varilla delgada de longitud L=3, y cuyos extremos est�an colocados sobre objetos que mantienen una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente. Inicialmente la temperatura de la varilla viene dada por u 0 ( x ) = 10 x= 3 salvo en su tercio central donde la temperatura ha subido hasta los 100 grados. Se Suponemos que la varilla es delgada y tiene su superficie lateral aislada t ́ermicamente. Podemos entonces pensar que todas las cantidades t ́ermicas son constantes a los largo de cada secci ́on transversal, y ver la varilla como un objeto unidimensional. La energ ́ıa t ́ermica de la varilla va a depender entonces de x ∈ [0 , L ] y t . Designamos por u ( x, t ) la temperatura de la secci ́on de la varilla que dista x ≥ 0 del extremos x = 0 cuando ha pasado un tiempo t ≥ 0. Tomemos un trozo de varilla entre las secciones x y x + ∆ x , que des- ignaremos por [ x, x + ∆ x ]. Pensamos en ∆ x , que mide la anchura del trozo de varilla, como una cantidad muy peque ̃na. Vamos a ver la cantidad de energ ́ıa t ́ermica que hay en el trozo de la varilla [ x, x + ∆ x ]
