Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (GRUPO 15)»

Revisión del 12:02 3 dic 2024

1 Introducción

La ley de Poiseuille determina el flujo laminar en un tubo con sección cilíndrica constante que describe el movimiento de un fluido viscoso (newtoniano) bajo condiciones estacionarias en el interior del conducto. Supondremos en este caso que esta centrado en el eje OZ con radio 3.

Hallamos con la función velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] y presión [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)[/math] sus respectivas gráficas y estudiaremos los vectores ortogonales de [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math].

Además analizaremos la temperatura: [math]T(\rho, \theta, z) = 2 e^{1 + \rho} - (z - 2)^2[/math] para obtener el rotacional y sus campos de temperaturas.

Para este artículo, hemos hecho uso del programa Matlab para la representación grafica de los resultados, con el fin de visualizar mejor las interpretaciones de dicha Ley.

2 Sección transversal

A continuación, se presenta un dibujo del perfil longitudinal de una tubería, el cual permite una representación gráfica. Este perfil es fundamental para entender la geometría de la tubería, facilitando su análisis y visualización. A través de esta representación, se puede observar un radio de 3 y una altura de 10.

Mallado de la sección

%Se crea el mallado en 2D
rho=0:0.2:3; 
z=0:0.2:10; 
[x,y]=meshgrid(rho,z); 
%Representamos la tubería
hold on
mesh(x,y,0.*x);
%Región en la que se va a representar
axis([0,4,0,10]); 
%Dar nombre a los elementos que se van a contemplar en la gráfica
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
title ('Mallado de la sección longitudinal');
hold off

3 Ecuación de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos incompresibles y viscosos, se consideran fuerzas como la presión, la viscosidad y fuerzas externas. Son fundamentales en dinámica de fluidos para modelar fenómenos como flujos laminares, turbulentos y transporte en diversos medios. Con la ecuación de la velocidad de partículas [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] y presión [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1)[/math] donde [math]p_{1}[/math] es la presión en [math]z = 1[/math], [math]p_{2}[/math] en [math]z = 5[/math] y [math] \mu [/math] es la viscosidad.

La ecuación de Navier-Stokes : [math] \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, [/math].

Donde [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math] satisface esta ecuación la cual es independiente del tiempo y se desprecia el primer termino

Se comprobara que [math]\vec{f}(\rho)[/math] cumpla la ecuación:

Resolvemos:

1) Multiplicamos por [math] \rho[/math]

[math] \frac{\partial}{\partial \rho}\left (\rho \frac{\partial f\left(\rho\right)}{\partial\rho}\right)=\rho\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} [/math]

2) Integramos

[math]\int_{}^{}\frac{\partial}{\partial \rho}\left (\rho \frac{\partial f\left(\rho\right)}{\partial\rho}\right)\partial\rho=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu}\int_{}^{}\rho\partial\rho[/math]

[math]\rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho^{2}}{2} + C_{1} [/math]

[math] \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } = \frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{\mu} \cdot \frac{\rho}{2} + \frac{C_{1}}{\rho} [/math]

3)Integramos por segunda vez [math]\int_{}^{}[/math]

[math]\int_{}^{} \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho }\partial \rho = \frac{\left ( p_2-p_1 \right )}{\mu} \cdot \int_{}^{}(\frac{\rho}{2} + \frac{C_1}{\rho}) \partial \rho[/math]

Obtenemos la función: [math] {f(\rho)} = (\frac{p_2-p_1}{\mu})\frac{\rho^{2}}{4} + C_1\ln(\rho) + C_2[/math].

Tomamos valor [math]\rho = 3 , \rho= 0[/math] para encontrar valor a las constantes [math] C_1, C_2 [/math] donde la velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)[/math] es nula.

• Condición 1:[math] f(\rho) = 0 [/math]para[math] \rho = 3:[/math]

[math]0 = \frac{3^2}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} + C_1 \ln(3) + C_2.[/math]

• Condición 2: [math]f(\rho)[/math] no diverge para [math]\rho = 0:[/math]

Para evitar divergencias, se impone [math]C_1 = 0[/math], ya que el término [math]\ln(\rho)[/math] diverge cuando [math]\rho \to 0[/math].

Sustituyendo [math]C_1 = 0[/math] en la ecuación:

[math]0 = \frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} + C_2[/math].

De aquí, se obtiene:

[math]C_2 = -\frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu}.[/math]

La solución final es: [math] f(\rho) = \frac{\rho^2}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu} - \frac{9}{4} \frac{p_2 - p_1}{4 \mu}.[/math]

Verificamos la condición de incomprensibilidad, que establece que el fluido debe conservar su volumen

donde [math]\nabla \cdot \mathbf{u} [/math] es la divergencia del campo de velocidad de [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}},[/math] lo que significa que solo tiene componente en la dirección [math]z [/math] y esta depende únicamente de [math] \rho [/math].

Por lo tanto, todos los términos de la divergencia son cero, y se verifica que el fluido es incompresible.

4 Representación de los campos

Para analizar el campo de presiones, es esencial estudiar cómo varía la presión con respecto a la altura. Observamos que existe una relación lineal entre ambas magnitudes: a mayor profundidad, mayor es la presión, y, de manera inversa, al reducir la profundidad, la presión también disminuye.

La presión en el fluido está dada por la ecuación: [math]p(x, y) = p_1 + \left(p_2 - p_1\right) \frac{(z - 1)}{4}.[/math]

Sustituyendo los valores [math]p_1 = 2 [/math] y [math]p_2 = 6[/math] [math]\to p(x, y) = 2 + \left(6 - 2\right) \frac{(z - 1)}{4}.[/math]

Simplificando: [math]p(x, y) = 2 + 4 \cdot \frac{(z - 1)}{4}.[/math]

Finalmente, obtenemos: [math]p(x, y) = z + 1.[/math]

Por lo tanto, el campo de presiones muestra que la presión depende linealmente de la altura [math]z[/math]. A medida que [math]z[/math] aumenta, la presión también lo hace, y viceversa.

Campo de Presiones

clear all;
z=0:0.1:10;
f=z + 1; 
plot(z,f)
xlabel('Variación de altura');
ylabel('Variación de presión');
title(' Gráfica del campo de presiones');

5 La Temperatura

La temperatura es una de las muchas interpretaciones del campo escalar, ya que se le asocia una aplicación lineal [math]\mathrm{T} : \mathbb{R}^3 \Rightarrow \mathbb{R}^1[/math] la cual tiene como entrada y salida magnitudes escalares. Sus entradas más habituales son el tiempo y la posición. No obstante, la temperatura del fluido nos viene dada por el campo escalar: [math]T(\rho, \theta, z) = 2 e^{1 + \rho} - (z - 2)^2[/math] . Si se pone atención a la función, la variable [math]\theta[/math] es nula, por lo que z y [math]\rho[/math] crean un mallado 2D que se alzará dependiendo de la temperatura en cada punto.

A continuación, se pretende representar en 2D un gráfico a color de la temperatura y otro que refleje sus curvas de nivel como ayuda para la interpretación de dicho campo. Para determinar donde la temperatura es máxima gráficamente vale con ver el gráfico de matlab, también se puede calcular con el gradiente igualando al 0. Se aclara que el gráfico no trabaja con coordenadas cartesianas, sino con coordenadas polares.

x = 0:0.1:3;
y = 0:0.1:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);
%T=exp((1+X).*2)-(Y-2).^2;
%T=exp(1+X).*2-(Y-2).^2;
%T=2.*exp(1+X).*2-(Y-2).^2;
[T_max, idx_max] = max(T(:)); 
[row_max, col_max] = ind2sub(size(T), idx_max);  
hold on
pcolor(X, Y, T);
shading flat
grid on
axis([0, 4, 0, 10]);
colorbar;
title('Campo de temperaturas')
xlabel('ρ')
ylabel('z')
plot(X(row_max, col_max), Y(row_max, col_max), 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');
hold off;