Diferencia entre revisiones de «Curvas de Bézier Grupo 2»

Revisión del 19:38 2 dic 2024

Las curvas de Bézier son un sistema que se desarrolló sobre 1960 para el diseño aeronáutico, el trazado de dibujos técnicos y el diseño de automóviles. Fueron ideadas por el ingeniero francés Pierre Bézier y posteriormente desarrolladas por Paul de Casteljau. Hoy en día, estas curvas se han convertido en un estándar en la industria de la gráfica por computadora, el diseño industrial y la ingeniería, permitiendo crear formas fluidas y precisas. Las curvas de Bézier de orden [math]n[/math] están definidas por los puntos de control [math]P_0,P_1,...,P_n[/math] y se pueden expresar mediante la siguiente fórmula:

donde \(B_{i,n}(t)\) son los polinomios de Bernstein, dados por:

para \(t \in [0, 1]\), y donde \(\binom{n}{i}\) es el coeficiente binomial.

1 Representación de la curva de Bézier cúbica para [math]n=3[/math], junto con la curva poligonal que conecta cuatro puntos de control coplanarios.

En primer lugar seleccionamos cuatro puntos de control coplanarios (

CURVA DE BÉZIER CÚBICA

% Selección de puntos de control coplanarios
P0 = [0, 0];
P1 = [4, 2];
P2 = [0, 2];
P3 = [4, 4];
n = 3; % Orden de la curva de Bézier

% Vector de puntos de control
P = [P0; P1; P2; P3];

% Puntos para la curva de Bézier
numPuntos = 100;
t = linspace(0, 1, numPuntos); % Valores de t entre 0 y 1
B = zeros(numPuntos, 2); % Inicializar B con la matriz nula

% Cálculo de la curva usando la fórmula
for i = 0:n
    % Coeficiente binomial
    coefBin = nchoosek(n, i);
    % Polinomio de Bernstein
    Bernstein = coefBin * (t.^i) .* ((1-t).^(n-i));
    % Curva de Bézier
    B = B + Bernstein' * P(i+1, :);
end

% Graficar la curva y la poligonal de control
figure;
hold on;
plot(P(:, 1), P(:, 2), 'bo--', 'LineWidth', 1.5); % Poligonal de control
plot(B(:, 1), B(:, 2), 'r-', 'LineWidth', 2.5);    % Curva Bézier
% Se pone título a la gráfica
title('Curva de Bézier cúbica');
% Se pone nombre a los ejes
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
legend('Poligonal de control', 'Curva Bézier');
grid on;
hold off;

2 Representación del campo tangente [math]T(t)[/math] y del campo normal [math]N(t)[/math] en varios puntos de la curva.

3 Representación de la curvatura de la curva en función del parámetro [math]t[/math].

4 Animación del vector tangente, el vector normal y la circunferencia osculatriz asociados a cada punto de la curva de Bézier.

5 Representación de la curva de Bézier tridimensional, junto con la curva poligonal que conecta los cuatro puntos que están en el espacio tridimensional y no pertenecen al mismo plano.

6 Representación de los gráficos de la curvatura y de la torsión como funciones del parámetro [math]t[/math].

7 Animación que representa el triedro de Frenet que se mueve a lo largo de la curva.

8 Aplicación de una curva de Bézier al tramo de un circuito de [math]F_1[/math].

9 Aplicaciones de las curvas de Bézier en la ingeniería.