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| − | {{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 6B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Alejandro Flores Guevara<br>Juan Andres Cebrian Gonzalez<br>Elena Losada Santana<br>Gilem Sendín Gallastegi}}
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| − | '''Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas'''
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| − | '''<big>Introducción</big>'''
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| − | En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas, que se denotan por ''(u, v, z)''. Estas tienen la siguiente relación con las coordenadas cartesianas ''(x₁, x₂, x₃)'':
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| − |
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| − | <math>
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| − | \begin{aligned}
| |
| − | x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\
| |
| − | x_2 &= uv, \\
| |
| − | x_3 &= z,
| |
| − | \end{aligned}
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| − | </math>
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| − |
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| − | donde ''u > 0''.
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| − |
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| − | Las coordenadas cilíndricas parabólicas son una generalización de las coordenadas cilíndricas estándar y extienden un cambio de coordenadas en ''R²'' a todo el espacio ''R³''. A continuación, se presentan los cálculos, representaciones y aplicaciones.
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| − | {| class="" style="border: none; width: 100%;"
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| − | |-
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| − | | __TOC__
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| − | | [[Archivo:CoordenadasCilindricasParabolicas.png|500px|thumb|none|''Figura 1: Coordenadas Cilindricas Parabolicas.'']]
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| − | |}
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| − |
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| − | = Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) =
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| − |
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| − | '''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
| |
| − | * ''\(\gamma_u\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)</math>, con ''t'' variable y ''v, z'' constantes.
| |
| − | * ''\(\gamma_v\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)</math>, con ''t'' variable y ''u, z'' constantes.
| |
| − | * ''\(\gamma_z\)'': <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)</math>, con ''t'' variable y ''u, v'' constantes.
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| − | === Código MATLAB y representación ===
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| − | [[Archivo:LineasCoordenadas.PNG|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordendas.'']]
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| − | {{matlab|codigo=
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| − | clear,clc
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| − | %Parametrizaciones de las lineas coordenadas
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| − | u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
| |
| − | v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
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| − | %Dibujo de las lineas coordenadas
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| − | figure;
| |
| − | hold on;
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| − |
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| − | % Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
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| − | v_fixed = 1;
| |
| − | x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
| |
| − | x2_u = u .* v_fixed;
| |
| − | plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);
| |
| − |
| |
| − | % Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
| |
| − | u_fixed = 1;
| |
| − | x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
| |
| − | x2_v = (u_fixed) .* v;
| |
| − | plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);
| |
| − |
| |
| − | % Estilo del gráfico
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| − | title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
| |
| − | xlabel('x_1');
| |
| − | ylabel('x_2');
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| − | legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
| |
| − | grid on;
| |
| − | axis equal;
| |
| − | hold off;
| |
| − | }}
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| − |
| |
| − | = Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) =
| |
| − | '''Cálculos:'''
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| − | Los campos velocidad de las líneas coordenadas son:
| |
| − | * Para ''γₐ'':
| |
| − | <math>\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)</math>.
| |
| − | * Para ''γᵥ'':
| |
| − | <math>\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)</math>.
| |
| − | * Para ''γ_z'':
| |
| − | <math>\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)</math>.
| |
| − |
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| − |
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| − | '''Factores de escala:'''
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| − | Los factores de escala ''h<sub>u</sub>, hᵥ, h<sub>z</sub>'' son los módulos de los campos velocidad:
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| − |
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| − | <math>
| |
| − | h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad
| |
| − | h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad
| |
| − | h_z = |\gamma_z'(z)| = 1.
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | '''Vectores tangentes:'''
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| − | Los vectores tangentes unitarios son:
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| − | * <math>\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)</math>,
| |
| − | * <math>\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)</math>,
| |
| − | * <math>\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)</math>.
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| − |
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| − |
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| − | ===Código MATLAB y representación: ===
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| − | [[Archivo:VectoresEuEv.PNG|500px|thumb|right|''Figura 3: Vectores unitarios Eu Ev.'']]
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| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | clear,clc,clf
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| − | % Punto de interés
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| − | u = 1;
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| − | v = 1;
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| − |
| |
| − | % Vectores unitarios en ese punto
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| − | h = sqrt(u^2 + v^2);
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| − | eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
| |
| − | ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v
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| − |
| |
| − | % Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en el plano z = 0
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| − | x1_u = (u.^2 - v.^2) / 2;
| |
| − | x2_u = u .* v;
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| − |
| |
| − | % Gráfico
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| − | figure;
| |
| − | hold on;
| |
| − | quiver(x1_u, x2_u, eu(1), eu(2), 'r', 'LineWidth', 1.5);
| |
| − | quiver(x1_u, x2_u, ev(1), ev(2), 'b', 'LineWidth', 1.5);
| |
| − | plot(x1_u, x2_u, 'k--', 'LineWidth', 1); % Línea coordenada
| |
| − | title('Vectores unitarios en el plano z = 0');
| |
| − | xlabel('x_1');
| |
| − | ylabel('x_2');
| |
| − | legend({'e_u', 'e_v'});
| |
| − | grid on;
| |
| − | axis equal;
| |
| − | hold off;
| |
| − | }}
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| − |
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| − | =Matrices de Cambio de Base=
| |
| − | Las matrices permiten transformar entre las bases cilíndrica parabólica y cartesiana.
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| − |
| |
| − | * La matriz \( Q \) transforma las coordenadas de la base \(\{e_u, e_v, e_z\}\) al sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).
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| − |
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| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | Q = \begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{u}{h_u} & -\frac{v}{h_v} & 0 \\
| |
| − | \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
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| − |
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | Q = \begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
| |
| − | \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
| |
| − | * La matriz inversa \( Q^{-1} \) permite transformar vectores en el sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\) al sistema cilíndrico parabólico \(\{e_u, e_v, e_z\}\).
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| − |
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| − |
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| − | <math>
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| − | Q^{-1} = \begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\
| |
| − | -\frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | <math>
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| − | Q^{-1} = \begin{bmatrix}
| |
| − | \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
| |
| − | -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\
| |
| − | 0 & 0 & 1
| |
| − | \end{bmatrix}
| |
| − | </math>
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| − |
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| − | =Expresar el campo posicion \(\vec{r}\) en el sistema cilindrico parabolico=
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| − | [[Archivo:CampoPosicion.PNG|500px|thumb|mid-right|''Figura 4: Campo Posicion'']]
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| − | Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:
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| − |
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| − |
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| − | <math>
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| − | x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
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| − | </math>
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| − |
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| − | ''' Factores de escala '''
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| − |
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| − | Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:
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| − |
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| − | <math>
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| − | h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
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| − | </math>
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| − |
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| − | ''' Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas '''
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| − | Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:
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| − |
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| − | <math>
| |
| − | \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1.
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| − | </math>
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| − |
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| − | ''' Matriz de cambio de base '''
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| − | La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:
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| − |
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| − |
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| − | <math>
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| − | Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
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| − | </math>
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| − |
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| − | Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.
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| − | '''Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) '''
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| − | La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:
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| − |
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| − |
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| − | <math>
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| − | \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
| |
| − | </math>
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| − |
| |
| − | produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:
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| − |
| |
| − | <math>
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| − | r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | ''' Conclusión '''
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| − | Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.
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| − |
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| − | =Gradiente de un campo escalar=
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| − | El gradiente de un campo escalar en coordenadas cilíndricas parabólicas es:
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| − |
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| − | Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \).
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| − |
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| − | ''' Transformación de las coordenadas '''
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| − | Sabemos que \( x_2 = uv \), por lo que en términos de \( (u, v, z) \), la función se transforma como sigue:
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| − |
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| − | <math>
| |
| − | f(u, v, z) = uv.
| |
| − | </math>
| |
| − |
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| − | ''' Cálculo de las derivadas parciales '''
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| − | Las derivadas parciales de \( f(u, v, z) = uv \) son:
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| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0.
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | ''' Cálculo del gradiente \( \nabla f \) '''
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| − | El gradiente de \( f \) en coordenadas \( (u, v, z) \) es:
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| − |
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| − | <math>
| |
| − | \nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \mathbf{e_u} + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \mathbf{e_v} + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e_z}.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Sustituyendo las derivadas parciales:
| |
| − |
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| − | <math>
| |
| − | \nabla f = \frac{v}{u^2 + v^2} \mathbf{e_u} + \frac{u}{u^2 + v^2} \mathbf{e_v}.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ''' Cálculo de las coordenadas \( (u, v, z) \) '''
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| − | Las coordenadas \( (u, v, z) \) se obtienen de las ecuaciones de transformación:
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| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Para el punto \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \):
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| − |
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| − | <math>
| |
| − | uv = 1, \quad \frac{u^2 - v^2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad u^2 = v^2.
| |
| − | </math>
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| − |
| |
| − | Por lo tanto:
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| − |
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| − | <math>
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| − | u = 1, \quad v = 1, \quad z = 1.
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | ''' Sustitución en el gradiente '''
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| − |
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| − | En el punto \( (u, v, z) = (1, 1, 1) \):
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| − |
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| − | <math>
| |
| − | h_u = h_v = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad e_u = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right), \quad e_v = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right).
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Sustituyendo en el gradiente:
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| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right).
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Sumando las componentes:
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| − |
| |
| − | <math>
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| − | \nabla f = (0, 1, 0).
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | ''' Resultado '''
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| − | El gradiente de \( f \) en el punto cartesiano \( (0, 1, 1) \) es:
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| − |
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| − | <math>
| |
| − | \nabla f = (0, 1, 0).
| |
| − | </math>
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| − |
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| − | =Divergencia =
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| − | La divergencia en este sistema es:
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| − | <math>
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| − | \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].
| |
| − | </math>
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| − |
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| − | Ejemplo: calcular la divergencia del campo posición.
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| − | [[Archivo:divergencia01.jpg|600px|thumb|right|Divergencia del campo posición.]]
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| − | [[Archivo:campodiver.jpg|600px|thumb|right|Campo vectorial y divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas.]]
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| − | ''' Divergencia del campo vectorial en coordenadas cilíndrico-parabólicas '''
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| − |
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| − | La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se define como:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}.
| |
| − | </math>
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| − |
| |
| − | Donde las componentes del campo vectorial \( \mathbf{r} \) son:
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| − |
| |
| − | <math>
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| − | r_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z.
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
| |
| − | ''' Paso 1: Derivada respecto a \( u \) '''
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| − |
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| − | Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \) respecto a \( u \):
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| − |
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| − | <math>
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| − | \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) = \frac{3u^2 + v^2}{2}.
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
| |
| − | '''Paso 2: Derivada respecto a \( v \) '''
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| − |
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| − | Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \) respecto a \( v \):
| |
| − |
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| − | <math>
| |
| − | \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) = \frac{u^2 + 3v^2}{2}.
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | ''' Paso 3: Derivada respecto a \( z \) '''
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| − | La derivada de \( r_z = z \) respecto a \( z \) es:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \frac{\partial r_z}{\partial z} = 1.
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | ''' Paso 4: Sustitución en la fórmula de la divergencia '''
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| − |
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| − | Sustituyendo todos los términos en la fórmula de la divergencia:
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| − |
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| − | <math>
| |
| − | \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{3u^2 + v^2}{2} + \frac{u^2 + 3v^2}{2} \right] + 1.
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | Simplificando:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot 2(u^2 + v^2) + 1 = 2 + 1 = 3.
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | '''Resultado Final '''
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| − | La divergencia del campo posición \( \mathbf{r} \) es:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \nabla \cdot \mathbf{r} = 3.
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| − | </math>
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| − |
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| − | =Rotacional=
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| − |
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| − | ''' Cálculo del Rotacional en Coordenadas Cilíndricas Parabólicas '''
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| − | En coordenadas cilíndricas parabólicas, los factores de escala son:
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| − |
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| − | <math>
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| − | h_u = h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1
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| − | </math>
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| − |
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| − | Por lo tanto:
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| − |
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| − | <math>
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| − | h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 \cdot 1 = u^2 + v^2
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | La fórmula para el rotacional en coordenadas ortogonales es:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix}
| |
| − | h_u e_u & h_v e_v & h_z e_z \\
| |
| − | \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\
| |
| − | h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z
| |
| − | \end{vmatrix}
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | Sustituyendo los factores de escala:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{vmatrix}
| |
| − | \sqrt{u^2 + v^2} e_u & \sqrt{u^2 + v^2} e_v & e_z \\
| |
| − | \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\
| |
| − | \sqrt{u^2 + v^2} F_u & \sqrt{u^2 + v^2} F_v & F_z
| |
| − | \end{vmatrix}
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | Con las componentes del campo:
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| − |
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| − | <math>
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| − | F_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = z
| |
| − | </math>
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| − |
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| − | '''Cálculo por Componentes'''
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| − |
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| − | '''Componente <math>e_u</math>'''
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| − |
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| − | <math>
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| − | e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v)
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| − | </math>
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| − |
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| − |
| |
| − | <math>\frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0</math>
| |
| − | <math>\frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_v) = 0</math>, porque <math>F_v</math> no depende de <math>z</math>.
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| − |
| |
| − | Por lo tanto:
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| − |
| |
| − | <math>
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| − | e_u = 0
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| − | </math>
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| − |
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| − | '''Componente <math>e_v</math>'''
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| − |
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| − | <math>
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| − | e_v = \frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z)
| |
| − | </math>
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| − |
| |
| − | <math>\frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_u) = 0</math>, porque <math>F_u</math> no depende de <math>z</math>.
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| − |
| |
| − | <math>\frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0</math>.
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| − |
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| − |
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| − | Por lo tanto:
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| − |
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| − | <math>
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| − | e_v = 0
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| − | </math>
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| − |
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| − | '''Componente <math>e_z</math>'''
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| − | <math>
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| − | e_z = \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u)
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | Derivada de <math>h_v F_v</math> con respecto a <math>u</math>:
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| − |
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| − | <math>
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| − | h_v F_v = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{v u^2 + v^3}{2}
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | Entonces:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2 + v^3}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v^3}{2} \right) = v \cdot u
| |
| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | Derivada de <math>h_u F_u</math> con respecto a <math>v</math>:
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| − |
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| − | <math>
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| − | h_u F_u = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{u^3 + uv^2}{2}
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| − | </math>
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| − |
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| − |
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| − | Entonces:
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| − |
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| − | <math>
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| − | \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3 + uv^2}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{uv^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3}{2} \right) = u \cdot v
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| − | </math>
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| − |
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| − | Por lo tanto:
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| − |
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| − | <math>
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| − | e_z = v u - u v = 0
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| − | </math>
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| − | '''Resultado Final'''
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| − | El rotacional es:
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| − | <math>
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| − | \nabla \times \mathbf{F} = 0 \cdot e_u + 0 \cdot e_v + 0 \cdot e_z = \mathbf{0}
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| − | </math>
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| − |
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| − | Esto significa que el campo <math>\mathbf{F}</math> es irrotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas.
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| − |
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| − | =Superficies de nivel=
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| − | Las superficies de nivel para los campos escalares son:
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| − | * ''f₁(u, v, z) = u'': Superficie parabólica.
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| − | * ''f₂(u, v, z) = v'': Superficie parabólica.
| |
| − | * ''f₃(u, v, z) = z'': Plano horizontal.
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| − | == Superficies de nivel de campos escalares ==
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| − | **Superficies de nivel en cartesianas:**
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| − | - Para el campo escalar \( f_1(u, v, z) = u \):
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| − | <math>
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| − | (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{C_1^2 - v^2}{2}, \, C_1 v, \, z \right), \quad \text{con } v, z \text{ variables y } u = C_1 \text{ constante.}
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| − |
| |
| − | </math>
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| − |
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| − | - Para el campo escalar \( f_2(u, v, z) = v \):
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| − | <math>
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| − |
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| − |
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| − | (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - c_2^2}{2}, \, u c_2, \, z \right), \quad \text{con } u, z \text{ variables y } v = c_2 \text{ constante.}
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| − |
| |
| − | </math>
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| − |
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| − | - Para el campo escalar \( f_3(u, v, z) = z \):
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| − | <math>
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| − |
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| − |
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| − | (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, \, u v, \, c_3 \right), \quad \text{con } u, v \text{ variables y } z = c_3 \text{ constante.}
| |
| − |
| |
| − | </math>
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| − |
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| − | == Código de MATLAB y representación: Coordenadas cilíndricas parabólicas ==
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| − | [[Archivo:graficf1.jpg|400px|thumb|right|''Superficie de nivel f₁'']]
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| − | [[Archivo:graficf2.jpg|400px|thumb|right|''Superficie de nivel f₂'']]
| |
| − | [[Archivo:graficf3.jpg|400px|thumb|right|''Superficie de nivel f₃'']]
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| − | <syntaxhighlight lang="matlab">
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| − | clc; clear;
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| − | % Rango para u y v
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| − | [u, v] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);
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| − |
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| − |
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| − | % --- 1. Superficie de nivel f1(u, v, z) = u ---
| |
| − | figure;
| |
| − | z1 = 0; % Fijar z como constante para esta superficie
| |
| − | x1 = (u.^2 - v.^2) / 2;
| |
| − | x2 = u .* v;
| |
| − | x3 = z1 * ones(size(u)); % Mantener z constante
| |
| − | surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none');
| |
| − |
| |
| − | title('Superficie de nivel: f_1(u, v, z) = u');
| |
| − | xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
| |
| − |
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| − | colormap turbo;
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| − |
| |
| − | axis equal;
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| − | grid on;
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| − |
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| − |
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| − | % --- 2. Superficie de nivel f2(u, v, z) = v ---
| |
| − | figure;
| |
| − | z2 = 0; % Fijar z como constante para esta superficie
| |
| − | x1 = (u.^2 - z2.^2) / 2; % Aquí reemplazamos v con un plano constante z
| |
| − | x2 = u .* z2;
| |
| − | x3 = v; % Usamos v directamente como dimensión libre
| |
| − | surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none');
| |
| − |
| |
| − | title('Superficie de nivel: f_2(u, v, z) = v');
| |
| − | xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
| |
| − |
| |
| − | colormap winter;
| |
| − | axis equal;
| |
| − | grid on;
| |
| − |
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| − |
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| − |
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| − |
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| − |
| |
| − | % --- 3. Superficie de nivel f3(u, v, z) = z ---
| |
| − | figure;
| |
| − | z3 = 1; % Valor constante para z
| |
| − | x1 = (u.^2 - v.^2) / 2;
| |
| − | x2 = u .* v;
| |
| − | x3 = z3 * ones(size(u)); % Mantener z constante
| |
| − |
| |
| − | surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none');
| |
| − | title('Superficie de nivel: f_3(u, v, z) = z');
| |
| − |
| |
| − | xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
| |
| − | colormap autumn;
| |
| − | axis equal;
| |
| − | grid on;
| |
| − |
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| − | </syntaxhighlight>
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| − | ---
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| − | =Curvatura de una parábola=
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| − | La parábola es:
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| − | <math>
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| − | y = -2x^2 + 2.
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| − | </math>
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| − |
| |
| − | '''Curvatura:'''
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| − | La curvatura es:
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| − | <math>
| |
| − | \kappa(x) = \frac{|y''(x)|}{(1 + (y'(x))^2)^{3/2}}.
| |
| − | </math>
| |
| − | Evaluar y graficar ''κ(x)'' en MATLAB para ''x ∈ [-1, 1]''.
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| − | ---
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| − | =Uso de la parábola en ingeniería=
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| − | La parábola es una figura geométrica que desempeña un papel crucial en el diseño y construcción de diversas estructuras de ingeniería civil. Su capacidad para distribuir fuerzas de manera eficiente y proporcionar estabilidad estructural ha llevado a su adopción en puentes, carreteras, edificios y presas. A continuación, se detalla cómo se aplica y cuáles son sus beneficios en cada ámbito.
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| − |
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| − | === Puentes ===
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| − | La parábola es particularmente relevante en los puentes colgantes y de arco, dos de las tipologías más icónicas en la ingeniería civil:
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| − | * '''Puentes colgantes''': [[Archivo:Puentecolg.png|400px|thumb|right]]
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| − |
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| − | * Los cables principales de un puente colgante adoptan una curva parabólica, lo que permite una distribución uniforme de las fuerzas de compresión y tensión.
| |
| − | * Esta configuración transfiere las fuerzas de compresión hacia las torres de soporte de manera eficiente, optimizando la estabilidad de la estructura.
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − |
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| − | * '''Puentes de arco''': [[Archivo:puenteparab.png|400px|thumb|right]]
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| − | * Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para repartir las cargas de manera equitativa.
| |
| − | * Su diseño permite abarcar espacios más amplios en comparación con otros tipos de arcos, lo que resulta ideal para proyectos de gran envergadura.
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| − | * La parábola contribuye a un mayor empuje en la base del arco, incrementando la estabilidad general del puente.
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | === Elementos arquitectónicos===
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| − | En el ámbito arquitectónico, la parábola es un elemento recurrente en la creación de estructuras innovadoras y funcionales:
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| − | [[Archivo:cubierta1.jpg|400px|thumb|right]]
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| − | * '''Cubiertas estructurales''':
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| − | * Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para diseñar cubiertas ligeras pero resistentes.
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| − | * Estas formas permiten un aprovechamiento eficiente de los materiales, combinando ligereza y durabilidad.
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| − | * '''Arcos parabólicos''':
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| − | * Usados en grandes espacios como estadios y centros comerciales, ofrecen una distribución eficiente de las cargas estructurales.
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| − | * Permiten diseños arquitectónicos más audaces, combinando funcionalidad y estética.
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | === Presas ===
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| − | Las presas también se benefician del uso de la parábola, especialmente en términos de resistencia y funcionalidad: [[Archivo:presa1.png|400px|thumb|right]]
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| − | * '''Perfil estructural''': La forma parabólica distribuye la presión del agua de manera uniforme, lo que contribuye a la estabilidad de la presa.
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| − | * '''Vertederos''': Los diseños parabólicos optimizan el flujo del agua, minimizando la erosión y reduciendo el impacto sobre el medio ambiente.
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| − | * '''Estabilidad estructural''': Las curvas parabólicas mejoran la capacidad de la presa para resistir fuerzas horizontales, como las producidas por el empuje del agua.
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | <br /><br />
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | === Carreteras ===
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| − | En el diseño de carreteras, la parábola se utiliza para crear trayectorias suaves y transiciones graduales que mejoran la seguridad y comodidad del usuario:
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| − | * '''Perfiles verticales''': Especialmente en terrenos montañosos, las parábolas facilitan la adaptación del trazado a la topografía, reduciendo el desgaste del vehículo y el consumo de combustible.
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| − | * '''Curvas de transición''': Estas aseguran un cambio progresivo entre pendientes, minimizando los riesgos asociados con cambios bruscos de inclinación.
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| − | * '''Diseño de rampas''': Las parábolas optimizan la inclinación y aprovechan eficientemente el espacio disponible.
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | <br />
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| − | === Ventajas generales de la parábola ===
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| − | # '''Eficiencia estructural''': Permite una distribución óptima de las fuerzas, lo que reduce la necesidad de material sin comprometer la resistencia.
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| − | # '''Versatilidad''': Su adaptabilidad la hace adecuada para diversas escalas y tipos de construcciones.
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| − | # '''Estética''': Aporta un atractivo visual que se combina con diseños innovadores y funcionales.
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| − | # '''Economía''': Al requerir menos material, reduce costos de construcción y mantenimiento.
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| − | # '''Resistencia''': Su capacidad para distribuir fuerzas de forma uniforme incrementa la durabilidad de las estructuras.
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| − | [[Categoría:Teoría de Campos]]
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| − | [[Categoría:TC24/25]]
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