Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 10)»
(→Longitud de la curva) |
(→Estructura civil) |
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| Línea 176: | Línea 176: | ||
=Información de interés= | =Información de interés= | ||
=Estructura civil= | =Estructura civil= | ||
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| + | Clotoidecarret.jpeg|La clotoide en carreteras | ||
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=Parametrización en cartesianas= | =Parametrización en cartesianas= | ||
=Densidad= | =Densidad= | ||
Revisión del 14:46 1 dic 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La clotoide. Grupo 10 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Nerea García Puig Irene Melendo Félix Nerea Rodrigañez Martínez Ana Rua Marín |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
La clotoide es una curva que se pueden definir como varias curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, formando un trozo de espiral. Ésta curva, cumple una serie de propiedades matemático-físicas que iremos explicando a lo largo de la presentación, con la herramienta de MATLAB, realizaremos los cálculos con precisión y representándolos en gráficas para poder entenderlos de una forma visual .
En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos. Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.
2 Dibujo de la curva
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
Realizamos el dibujo con el programa de MATLAB:
clear, clc
% Definimos la funcion
N = 1000; % Número de puntos
t = linspace(-5, 5, N); % Rango de t
dt = t(2) - t(1); % Paso entre puntos
% Inicializamos vectores para x(t) e y(t)
x = zeros(1, N);
y = zeros(1, N);
% Usamos el método del trapecio para integrar paso a paso
for i = 2:N
% Definimos los extremos del intervalo de integración
s_prev = t(i-1);
s_curr = t(i);
% Calculamos las funciones en los extremos
f_cos_prev = cos(s_prev^2 / 2);
f_cos_curr = cos(s_curr^2 / 2);
f_sin_prev = sin(s_prev^2 / 2);
f_sin_curr = sin(s_curr^2 / 2);
% Aproximamos integrales con el método del trapecio
x(i) = x(i-1) + (f_cos_prev + f_cos_curr) * dt / 2;
y(i) = y(i-1) + (f_sin_prev + f_sin_curr) * dt / 2;
end
% Dibujamos la curva
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva \gamma(t) usando el método del trapecio');
grid on;
axis equal;
3 Vectores velocidad y aceleración
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva.
- El vector velocidad se define como:
[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) [/math]
- El vector aceleración se define como:
[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) [/math]
Continuando con el código anterior y cambiando el número de puntos para que queden bien representadas las flechas de velocidad y aceleración, tenemos el siguiente código:
% Calculamos vector velocidad
vx = cos(t.^2/2); % Derivada de x respecto a t
vy = sin(t.^2/2); % Derivada de y respecto a t
% Calculamos vector aceleración
ax = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada de vx respecto a t
ay = t.*cos(t.^2/2); % Derivada de vy respecto a t
%Dibujamos curva
figure;
hold on
plot(x, y, 'r');
% Dibujamos velocidad
quiver(x,y,vx,vy,'g');
% Dibujamos aceleracióon
quiver(x,y,ax,ay,'b');
% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
4 Longitud de la curva
Podemos calcular la longitud de la curva indistintamente de la parametrización elegida, puesto que el concepto de longitud va asociado a la propia curva y no a la parametrización que la describe.
En nuestro caso, elegimos la parametrización:
Calculamos la longitud siguiendo dos procedimientos diferentes:
- De forma teorica:
- Utilizando métodos numéricos:
- Método del rectángulo
% Parámetros
L = 5;
a = 0;
b = L;
n = 1000; % Número de subintervalos (más grande, mayor precisión)
h = (b - a) / n; % Tamaño del subintervalo
% Función de las derivadas
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2);
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2);
% Elemento de longitud de arco
arc_length_element = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);
% Puntos para el método del rectángulo
x_vals = linspace(a, b-h, n); % Puntos de la izquierda
% Suma del rectángulo
length = sum(arc_length_element(x_vals) * h);
% Mostrar el resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', length);- Método del trapecio:
% Parámetros
a = 0; % Inicio del intervalo
b = 5; % Fin del intervalo
n = 1000; % Número de subintervalos
h = (b - a) / n; % Tamaño del paso
t = linspace(a, b, n+1); % Puntos de discretización
% Derivadas de x(t) y y(t)
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2); % Derivada de x
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2); % Derivada de y
% Elemento de longitud de arco
f = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);
% Valores de la función en los puntos
f_vals = f(t);
% Método del trapecio
L = h/2 * (f_vals(1) + 2 * sum(f_vals(2:end-1)) + f_vals(end));
% Resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', L);
5 Vectores tangentes y normal
6 Curvatura
7 Circunferencia osculatriz
8 Información de interés
9 Estructura civil
La clotoide en carreteras
