El término catenaria deriva del latín catena, cuyo significado es cadena. Más tarde ha ido adoptando otras connotaciones como curva funicular o chainette. La catenaria está definida por la siguiente fórmula:

Esta curva describe una cadena perfectamente flexible suspendida por sus extremos, con su masa distribuida uniformemente y sometida únicamente a las fuerzas de gravedad. La catenaria es el lugar geométrico de los puntos donde las tensiones horizontales del cable se compensan y por ello, carece de tensiones laterales haciendo que la cadena permanezca inmóvil sin desplazarse hacia los lados. Actúan la fuerza de la gravedad y la tensión de la cadena en cada punto. Un arco en forma de catenaria invertida minimiza los esfuerzos de compresión considerablemente.

A pesar de que el trazado de la parábola y el de la catenaria se asemejan bastante, ambas curvas son diferentes. El desarrollo de las fórmulas matemáticas de una catenaria y una parábola se diferencian a partir del cuarto término. Esto hace que las gráficas de ambas curvas se parezcan para valores pequeños de la X, remarcando más su diferenciación conforme aumentan los valores de ésta. En la catenaria el valor de la tangente tiende a la verticalidad y para sus valores infinitos de Y, se obtienen valores limitados de X.

1 Dibujo de la curva

% Definir la parametrización
 t = linspace(-1, 1, 1000);
 x = t;
 y = 2*cosh(t/2);
  % Dibujar la curva
 figure;
 plot(x, y, 'LineWidth', 2);
 title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, 2cosh(t/2))');
 xlabel('x');
 ylabel('y');
 grid on;

2 Vector velocidad y vector aceleración

% Parámetros 
 t = linspace(-1,1,20);
  x = t;
 y = 2*cosh(t/2);
  % Velocidad y aceleración 
 V1 = ones(size(t));  
 V2 = sinh(t/2);
 A1 = zeros(size(t));  
 A2 = (1/2)*cosh(t/2); 
 % Gráfica 
 figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
 axis equal

 hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
 
% Etiquetas
 xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);
% Etiquetas
 title('Gráfica velocidad aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
 axis("equal")

3 Longitud de la curva

function A = longitudcatenria(f, a, b, n)
  f=@(t) sqrt(1+(sinh(t/2)).^2);
  a=-1;
  b=1;
  n=200;
  A = 0;
  h = (b-a)/n; 
  for k=1:n
 xk = a + h*k;     % Valor de x en el extremo del intervalo
 A = A + f(xk)*h;  % Sumamos el área del rectángulo
 end
 
end

4 Vectores tangente y normal

4.1 Vector tangente

t=linspace(-1,1,20);
 x=t;
 y=2*cosh(t/2);
 % Vectores tangentes unitarios interiores
  t1i=(1)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
  t2i=sinh(t/2)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
  % Vectores tangentes unitarios 
  hold on
  plot(x,y,'LineWidth',2);
  quiver(x,y,t1i,t2i);
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas
 title('Vector tangente unitario')
 legend("Catenaria","Vector tangente unitario")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on
 grid minor

4.2 Vector normal

% Definición de los parámetros
  a=-1;
  b=1;
  h=0.09;
  t=a:h:b;
  % Definición de la curva
  x=t;
  y=cosh(t);
  % Vectores normales unitarios orientación interior
 n1i=sinh(t/2)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
 n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
 % Vectores normales unitarios orientación exterior
 n1e=-sinh(t/2)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
 n2e=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2));
 hold on
 plot(x,y,'LineWidth',2);
 quiver(x,y,n1i,n2i);
 quiver(x,y,n1e,n2e);
 hold off
 % Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
 ax = gca;
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Etiquetas
 title('Vectores normales')
 legend("Catenaria","Vector normal interior","Vector normal exterior")
 axis("equal")
 ax.XAxisLocation = 'origin';
 ax.YAxisLocation = 'origin';
 box on
 grid minor

5 Curvatura y dibujo de la gráfica

n =70;
 t = linspace ( -1 , 1 , n) ;
k = (1/2)*(cosh(t/2)./((1+(sinh(t/2)).^2)).^(3/2)) ;
 figure
 plot (t ,k ,'b') ;
 axis equal
 title ('Curvatura catenaria (t). ') ;
 xlabel('t');
 ylabel('\kappa(t)');
grid on

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Centro de la circunferencia osculatriz

6.2 Radio de la circunferencia osculatriz

7 Fenómeno descrito por la curva

Sea una cadena de bolitas metálicas, supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable. Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha. La catenaria minimiza la energía potencial del sistema.

Realmente, la catenaria no es una curva, sino una familia de curvas, las cuales están determinadas por las coordenadas de cada uno de sus extremos, y por sus longitudes. Por ello se define la catenaria como la geometría natural que adquiere una cadena cuando la agarras por sus extremos y la dejas que caiga por su propio peso.
El matemático y físico suizo Leonhard Euler fue el primero en demostrar que la curva catenaria, al girar sobre el eje x, producía el catenoide (primera superficie mínima descubierta tras el plano).
En la ingeniería moderna, el diseño basado en la catenaria se calcula considerando factores adicionales como las variaciones de peso en el cable o en la estructura, las fuerzas externas como el viento o la nieve y la elasticidad y propiedades del material. La catenaria en el ámbito de construcción es la mejor opción para la optimización de materiales y para conseguir la estabilidad frente a cargas y así reducir costos y aumentar la durabilidad.
Las estructuras de redes, como carpas, lonas o puentes peatonales colgantes, a menudo usan los principios de la catenaria para maximizar la eficiencia de carga y minimizar deformaciones.


En los puentes es utilizada para conseguir arcos de gran altura con mínimos empujes laterales, sin necesidad de usar apoyos laterales. Se puede observar, además de en puentes colgantes, en líneas de transmisión eléctrica suspendidas, y en la suspensión de cables en general. También aparece en la naturaleza como por ejemplo en telas de araña o en lianas.

8 Estructuras donde se emplee en el ámbito de la Ingeniería Civil

Uno de los grandes arquitectos de todos los tiempos, Antonio Gaudí i Cornet, es probablemente el primero en investigar y hacer uso en su obra de la catenaria y otros arcos antifuniculares. A diferencia de otros grandes arquitectos, Gaudí muestra una preocupación por el diseño de una estructura estable. Su interés por este tipo de arcos no es simplemente estructural, sino que los encontraba estéticos, ya que los emplea en lugares donde otras soluciones estructurales hubieran sido posibles. Gaudí opinaba que “... la catenaria da elegancia y espiritualidad al arco, elegancia y espiritualidad a la construcción entera”, “evita contrafuertes, el edificio pesa menos, gana una gracia vaporosa y se aguanta sin raros accesorios ortopédicos”. Gaudí llevó estos arcos catenarios a la Sagrada Familia de Barcelona para aportar una gran resistencia. Las catenarias las podemos encontrar en sus columnas, en las buhardillas de La Pedrera o en los pasadizos inclinados del Park Güell.

• 

  La Sagrada Familia

• 

  Catenaria Madrid-Aranjuez

The Gateway Arch es probablemente la obra arquitectónica con forma de arco catenario más famosa del siglo XX de San Luis (Missouri). Obra del arquitecto norteamericano de origen finlandés Eero Saarinen que constituye una maravilla de la construcción. El arco es el monumento nacional más alto de los Estados Unidos de América con una altura de 192 metros, al igual que la separación existente entre los dos puntos de arranque a nivel del suelo.

The Gateway Arch

Otro ejemplo ideal de catenaria, pero esta vez de uso estético más que estructural, lo encontramos en Riad, la capital de Arabia Saudita donde se encuentra el Kingdom Centre, uno de los 25 edificios más altos del mundo. A su curva catenaria se han referido como “un collar para la ciudad de Riad”.

The Kingdom Centre

9 Diferencias de la catenaria y la parábola

La catenaria y la parábola son curvas que pueden parecer similares a simple vista, ambas son simétricas respecto a un eje o vértice, y su forma puede ser visualmente parecida en ciertas condiciones, como en arcos o cables bajo tensión moderada. Sin embargo, al analizar su naturaleza matemática y física, se hacen evidentes sus distinciones.
La catenaria resulta de la interacción entre el peso del cable y la tensión, mientras que la parábola proviene de distribuciones de fuerza diferentes, como cargas uniformes o trayectorias de movimiento.
Desde el punto de vista estructural, la catenaria tiene una curvatura que varía a lo largo de la curva, haciéndola más cerrada en el centro y más amplia en los extremos. En cambio, la parábola tiene una curvatura constante, lo que le confiere una forma más uniforme.
La mayor diferencia entre las curvas corresponde a sus respectivas tangentes, en la catenaria el valor de la tangente tiende a la verticalidad mientras que en la parábola este valor tiende a una constante. Esto condiciona que, en la catenaria, para valores infinitos de la y, la x tiende a valores limitados, mientras que en la parábola para los valores infinitos de la y se obtienen valores infinitos de la x.
Estas diferencias se reflejan en sus aplicaciones: la catenaria es clave en diseños donde el peso propio del material juega un papel importante, como en cables colgantes, arcos invertidos o sistemas ferroviarios. Por su parte, la parábola es ideal para estructuras rígidas o aplicaciones ópticas, como reflectores y antenas parabólicas.

derecha

% Parámetros
A = 2; % Constante A
x = linspace(-10, 10, 500); % Rango de valores para x

% Ecuaciones
y_catenaria = A * cosh(x / A); % Ecuación de la catenaria
y_parabola = A + (x.^2) / A;   % Ecuación de la parábola

% Graficar
figure;
plot(x, y_catenaria, 'b-', 'LineWidth', 2); % Graficar catenaria en azul
hold on;
plot(x, y_parabola, 'r--', 'LineWidth', 2); % Graficar parábola en rojo
hold off;

% Personalización del gráfico
title('Catenaria vs Parábola');
legend('Catenaria: y = A cosh(x / A)', 'Parábola: y = A + x^2 / A');
axis tight;

10 Superficie de revolución asociada a la catenaria: Catenoide

El catenoide es una superficie de revolución generada al girar una curva catenaria alrededor de un eje horizontal. Esta superficie es un ejemplo clásico de una superficie mínima, es decir, una superficie cuya curvatura media es igual a cero en todos sus puntos y forma una superficie teórica infinita. Esto implica que el catenoide minimiza el área superficial entre dos bordes dados, una propiedad que lo hace relevante tanto en matemáticas como en aplicaciones físicas y de ingeniería.
El catenoide tiene aplicaciones en diseño estructural debido a su eficiencia en la distribución de tensiones. Es estudiado en geometría diferencial como un caso paradigmático de equilibrio mecánico y eficiencia geométrica. Su relación con la helicoide es particularmente interesante, ya que ambas superficies pueden transformarse una en otra mediante una deformación continua conocida como la transformación de Bonnet.

Representación gráfica del catenoide

% Parámetros
t = linspace(-1, 1, 100); % Valores de t en el intervalo [-1, 1]
theta = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de theta en [0, 2π]
[T, Theta] = meshgrid(t, theta); % Crear mallas para t y theta

% Coordenadas cilíndricas
R = cosh(T); % Radio r depende de t
Z = T; % Altura z es igual a t
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x1 = r * cos(theta)
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada x2 = r * sin(theta)

% Graficar la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie suave sin bordes
colormap('turbo'); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de Revolución de \gamma(t) = (0, cosh(t), t)');
axis equal; % Proporciones iguales en los ejes
grid on;
view(3); % Vista en 3D

Estructuras donde se usa el catenoide:

Planetario James S. McDonnell, Missouri

Pabellón de Múnich para la Expo 67, Canadá

Estadio Olímpico de Múnich, Alemania

11 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie

La densidad de la superficie es [math]\[f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}^2+x_{2}^2)x_{3}\][/math]. Para determinar cómo se distribuye la densidad en la superficie, se utiliza la parametrización del catenoide:
[math]x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u)[/math].
Donde [math]u[/math] esta en el intervalo (-1,1) y v [0,2[math]pi[/math]]
Siendo la densidad [math]f[/math] a lo largo de la superficie:

De este resultado, se deduce que la densidad depende tanto de [math]cosh(u)[/math](que describe la distancia radial al eje de revolución) como de [math]u[/math](la posición a lo largo del eje[math]z[/math]). Es decir, es máxima lejos del eje de revolución y en las regiones superiores, y mínima (o negativa) en las regiones inferiores.