Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 25)»

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(→‎Circunferencia osculatriz.)
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\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left (  \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ),  t\in (-5,5)
+
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left (  \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ),  t\in (0,5)
 
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  L = 5;       
 
  L = 5;       
 
  n = 500;   
 
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  t = linspace(-L, L, n);   
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  t = linspace(0, L, n);   
  
 
% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
 
% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
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for i = 1:5:n   
 
for i = 1:5:n   
 
     % Vectores de velocidad
 
     % Vectores de velocidad
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     quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.3, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
+
     quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
 
      
 
      
 
     % Vectores de aceleración
 
     % Vectores de aceleración
−
     quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.05, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
+
     quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
 
end
 
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−
L(γ) = \int_{-5}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{-5}^{5}1dt = 5-(-5) = 10
+
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
 
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for i = 1:5:n   
 
for i = 1:5:n   
 
     % Vector tangente
 
     % Vector tangente
−
     quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.4, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
+
     quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
 
      
 
      
 
     % Vector normal
 
     % Vector normal
−
     quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.3, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
+
     quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
 
end
 
end
  
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{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
 
% Definimos el parámetro t
 
% Definimos el parámetro t
−
  t=linspace(-5,5,50);
+
  t=linspace(0,5,50);
 
% Definimos la curvatura k(t)
 
% Definimos la curvatura k(t)
 
  k=t;
 
  k=t;

Revisión del 20:52 28 nov 2024

Trabajo realizado por estudiantes
Título La Clotoide (Grupo 25)
Asignatura Teoría de campos
Curso 2024-25
Autores Silvia Tortuero Montero,
Claro Franco Reigada,
Javier Nievas Molina,
Rafael Eguiagaray González,
Juan Rubiato Pérez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción.

De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

2 Dibujo de la curva.

Dada una función

[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5) [/math]


La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:

Figura 1: Clotoide
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
 L = 5;       
 n = 500;  
 t = linspace(0, L, n);  

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
 x = zeros(1, n);
 y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
 f1= @(s) cos(s.^2/2);
 f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
    % Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
    x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));
    
    % Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2) 
    y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;


3 Velocidad y aceleración.

Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]

[math] \vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]
[math] \vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]


Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2);  % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2);  % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2);  % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2);  % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n  
    % Vectores de velocidad
    quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vectores de aceleración
    quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;

4 Longitud de la curva.


La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:

[math] L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt [/math]


Como se ha plasmado en el apartado anterior:

[math] \vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j} [/math]


Cuyo módulo es:

[math] |γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1 [/math]


Por tanto la longitud es:

[math] L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5 [/math]


5 Vectores tangente y normal.

Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:

[math]\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1} [/math]


[math]\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}} [/math]


Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:

Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide
% Calculamos los vetores tangente x(t) e y(t) 
tx = cos(t.^2/2); 
ty = sin(t.^2/2);  

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2); 
ny = cos(t.^2/2);  

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n  
    % Vector tangente
    quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
    
    % Vector normal
    quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;

6 Curvatura k(t).

La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:

[math] k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t [/math]


La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab

Figura 4: Curvatura
% Definimos el parámetro t
 t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
 k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
 figure;
 plot(k,t);
 title('Curvatura');
 xlabel('Eje x');
 ylabel('Eje y');

7 Circunferencia osculatriz.

La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
Dada esta definición y dado P= [math] \gamma (2) [/math], es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son: </br>

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