Revisión del 15:16 28 nov 2024

1 Introducción

La clotoide es una curva que se pueden definir como varias curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, formando un trozo de espiral. Ésta curva, cumple una serie de propiedades matemático-físicas que iremos explicando a lo largo de la presentación, con la herramienta de MATLAB, realizaremos los cálculos con precisión y representándolos en gráficas para poder entenderlos de una forma visual .

En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos. Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.

2 Dibujo de la curva

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Realizamos el dibujo con el programa de MATLAB:

Dibujo de la curva

clear, clc
% Definimos la funcion
N = 1000; % Número de puntos
t = linspace(-5, 5, N); % Rango de t
dt = t(2) - t(1); % Paso entre puntos

% Inicializamos vectores para x(t) e y(t)
x = zeros(1, N);
y = zeros(1, N);

% Usamos el método del trapecio para integrar paso a paso
for i = 2:N
    % Definimos los extremos del intervalo de integración
    s_prev = t(i-1);
    s_curr = t(i);
    
    % Calculamos las funciones en los extremos
    f_cos_prev = cos(s_prev^2 / 2);
    f_cos_curr = cos(s_curr^2 / 2);
    f_sin_prev = sin(s_prev^2 / 2);
    f_sin_curr = sin(s_curr^2 / 2);
    
    % Aproximamos integrales con el método del trapecio
    x(i) = x(i-1) + (f_cos_prev + f_cos_curr) * dt / 2;
    y(i) = y(i-1) + (f_sin_prev + f_sin_curr) * dt / 2;
end

% Dibujamos la curva
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva \gamma(t) usando el método del trapecio');
grid on;
axis equal;

3 Vectores velocidad y aceleración

Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva.

• El vector velocidad se define como:

[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) [/math]

• El vector aceleración se define como:

[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) [/math]

Continuando con el código anterior y cambiando el número de puntos para que queden bien representadas las flechas de velocidad y aceleración, tenemos el siguiente código:

Figura 2: Velocidad y aceleración

% Calculamos vector velocidad
vx = cos(t.^2/2); % Derivada de x respecto a t
vy = sin(t.^2/2); % Derivada de y respecto a t

% Calculamos vector aceleración
ax = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada de vx respecto a t
ay = t.*cos(t.^2/2); % Derivada de vy respecto a t

%Dibujamos curva
figure; 
hold on

plot(x, y, 'r');

% Dibujamos velocidad
quiver(x,y,vx,vy,'g');

% Dibujamos aceleracióon
quiver(x,y,ax,ay,'b');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off

4 Longitud de la curva

Sea [math] γ(t): (a,b)→ R^2 [/math] la parametrización de nuestra curva. Podemos calcular la longitud de la curva, teniendo en cuenta que no depende de la parametrización elegida, puesto que el concepto de longitud va asociado a la propia curva y no a la parametrización que la describe.
Así pues, calculamos la longitud siguiendo dos procedimientos diferentes:

• De forma teorica:
  

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 [/math]

• Utilizando el método del rectángulo:

% Parámetros
L = 1; 
a = -5;
b = 5;
n = 1000; % Número de subintervalos (más grande, mayor precisión)
h = (b- a) / n; % Tamaño del subintervalo

% Función de las derivadas
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2);
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2);

% Elemento de longitud de arco
arc_length_element = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Puntos para el método del rectángulo
x_vals = linspace(a, b-h, n); % Puntos de la izquierda

% Suma del rectángulo
length = sum(arc_length_element(x_vals) * h);

% Mostrar el resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', length);

Además, con ayuda del método del trapecio podemos representar la longitud como el área bajon la curva

5 Vectores tangentes y normal

6 Curvatura

7 Circunferencia osculatriz

8 Información de interés

9 Estructura civil

10 Parametrización en cartesianas

11 Densidad