Diferencia entre revisiones de «La clotoide (Grupo 40)»

Revisión del 19:35 27 nov 2024

En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Un clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

1 La Clotoide

1.1 Dibujo de la curva

Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Octave. (L=5)

Dibujo de la curva

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;

1.2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:

Calculo vector velocidad: [math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
Calculo vector aceleración: [math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Vectores velocidad y aceleración

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t); 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ; 
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ; 
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ; 
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");

1.3 Cálculo longitud de la curva

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:

1.4 Cálculo de los vectores tangente y normal

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:

El vector tangente:

El vector normal:

Curva vector tangente y normal

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.5 Cálculo de la curvatura

Estudiaremos la curvatura en el punto [math] γ(t) [/math] que viene dada por la siguiente fórmula:

[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] [math] =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [-5,5] [/math]

Dibujo de la curvatura

t=linspace(-5,5,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.6 Cálculo de la circunferencia osculatriz

Dado el punto [math] P=\gamma (1) [/math], es decir [math] t=1 [/math], hallaremos el centro y el radio de la siguiente forma:

• El radio:

[math] R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} [/math], por lo que el [math] R=1 [/math]

• El centro:

[math] Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) [/math]

[math] Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] [/math]

Parametrizamos el centro de la circunferencia osculatriz con la siguiente fórmula:

[math] c(t)=(Q_{X}+R \cdot cos(t),Q_{y}+R \cdot sen(t) t ∈(0,2\pi) [/math]

[math] c(t)=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds-sen(\frac{1}{2})+1 \cdot cos(t) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+cos(\frac{t^2}{2})+1 \cdot sen(t)] [/math]

Circunferencia osculatriz

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Vector de parámetros
% Calcular las coordenadas de la clotoide
xc = arrayfun(x, t);
yc = arrayfun(y, t);

% Circunferencia oscculatriz
t1= linspace (0, 1, 20);
x1= @(t1) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t1);
y1= @(t1) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t1);
% Definimos la integral para t=1
x1= arrayfun (x1, 1); 
y1= arrayfun (y1, 1);
% Punto de la curva
P=[ x1, y1 ];
fprintf('El punto de la curvatura es %f,%f \n',P);
% Vector normal
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
% Curvatura y radio de la curvatura
k=1;
R=1/1;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
% Centro de la circunferencia osculatriz
Q=P+R*n;
Qx=x1+R*(-sin(1/2));
Qy=y1+R*(cos(1/2));
fprintf('El centro de la circuferencia es %f,%f \n',Q)

% Parametrización 
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Qx;
yy=R*sin(tt)+Qy;
 
% Dibujamos
figure
hold on
%clotoide
plot(xc,yc,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(x1,y1,'*k','linewidth',1)
% Circunferencia osculatriz
plot(xx,yy,'b')
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');

% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;