Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)»

Revisión del 18:23 26 nov 2024

Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar las coordenadas cilíndricas parabólicas que son un sistema de coordenadas que resulta útil para estudiar campos físicos en situaciones donde las formas parabólicas estas presentes.
Este sistema permite describir de manera sencilla ciertos problemas relacionados con distintos campos (como por ejemplo los potenciales). Exploramos cómo funcionan estas coordenadas y su utilidad, tanto en contextos físicos, como en su aplicación a nuestra rama de la ingeniería.
La relación que vamos a utilizar es la siguiente:

• [math]x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}, wv, z \right)[/math], con v, z fijas y w libre.
• [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}, uw, z \right)[/math], con u, z fijas y w libre.
• [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, w \right)[/math], con u, v fijas y w libre.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Líneas coordenadas en cartesianas:

• \(\gamma_u\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}, wv, z \right)[/math], con v, z fijas y w libre.
• \(\gamma_v\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}, uw, z \right)[/math], con u, z fijas y w libre.
• \(\gamma_z\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, w \right)[/math], con u, v fijas y w libre.

1.2 Código MATLAB y gráfica

right

clear,clc
  %Parametrizaciones de las lineas coordenadas
 u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
 v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
 %Dibujo de las lineas coordenadas
 figure;
 hold on;
 
% Curvas γ_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas γ_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

 % Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('EJE x_1');
ylabel('EJE x_2');
legend({'Líneas γ_u (u varía)', 'Líneas γ_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Cálculos Teóricos \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

⇒γ_u
[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)[/math]
⇒γ_v
[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)[/math]
⇒γ_z
[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]

2.2 Factores de Escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:

[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2} \quad h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2} \quad h_z = |\gamma_z'(z)| = 1 [/math]

2.3 Vectores Tangentes

⇒[math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math]
⇒[math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math]
⇒[math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]

2.4 Código MATLAB y representación:

(matlab|codigo= clear,cic,clf % Punto de interés u = 1; v = 1; % Vectores unitarios en ese punto h = sqrt(u°2 + v°2); eu = (u/h, v/h, 0); % Vector e_u ev = [-v/h, u/h, 0]: % Vector e_v

2.5 Comprobación de Ortonormalidad

h = sqrt(u^2 + v^2) eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v

2.6 Representación Gráfica

right

clear;clc

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en z=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores unitarios en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; % Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; % Vector e_v

%GráficoCoordenadas
figure;
hold on;
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'c','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
title('Vectores Unitarios en z=0');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'e_u','e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Matrices de cambio de base

4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Factores de escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.

5 Gradiente de un campo escalar

6 Divergencia de un campo vectorial

7 Rotacional de un campo vectorial

8 Superficies de nivel

9 Curvatura de una parábola

10 Uso de la parábola en ingeniería

10.1 Puentes

10.2 Elementos arquitectónicos

10.3 Presas

10.4 Carreteras

10.5 Ventajas generales de la parábola