Revisión del 19:23 24 nov 2024

Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas, que se denotan por (u, v, z). Estas tienen la siguiente relación con las coordenadas cartesianas (x₁, x₂, x₃):

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\ x_2 &= uv, \\ x_3 &= z, \end{aligned} [/math]

donde u > 0.

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son una generalización de las coordenadas cilíndricas estándar y extienden un cambio de coordenadas en R² a todo el espacio R³. A continuación, se presentan los cálculos, representaciones y aplicaciones.

Contenido 1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) 1.1 Código MATLAB y representación 2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) 2.1 Código MATLAB y representación: 3 Matrices de Cambio de Base 4 Expresar el campo posicion \(\vec{r}\) en el sistema cilindrico parabolico 5 Gradiente de un campo escalar 6 Divergencia 7 Rotacional 8 Superficies de nivel 9 Curvatura de una parábola 10 Uso de la parábola en ingeniería

Figura 1: Coordenadas Cilindricas Parabolicas.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Líneas coordenadas en cartesianas:

• \(\gamma_u\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con t variable y v, z constantes.
• \(\gamma_v\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con t variable y u, z constantes.
• \(\gamma_z\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con t variable y u, v constantes.

1.1 Código MATLAB y representación

Figura 2: Líneas coordendas.

clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Cálculos: Los campos velocidad de las líneas coordenadas son:

• Para γₐ:

[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)[/math].

• Para γᵥ:

[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)[/math].

• Para γ_z:

[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

Factores de escala: Los factores de escala h_u, hᵥ, h_z son los módulos de los campos velocidad:

[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = |\gamma_z'(z)| = 1. [/math]

Vectores tangentes: Los vectores tangentes unitarios son:

• [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

2.1 Código MATLAB y representación:

Figura 3: Vectores unitarios Eu Ev.

clear,clc,clf
% Punto de interés
u = 1;
v = 1;

% Vectores unitarios en ese punto
h = sqrt(u^2 + v^2);
eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v

% Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en el plano z = 0
x1_u = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u .* v;

% Gráfico
figure;
hold on;
quiver(x1_u, x2_u, eu(1), eu(2), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver(x1_u, x2_u, ev(1), ev(2), 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(x1_u, x2_u, 'k--', 'LineWidth', 1); % Línea coordenada
title('Vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'e_u', 'e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Matrices de Cambio de Base

Las matrices permiten transformar entre las bases cilíndrica parabólica y cartesiana.

• La matriz \( Q \) transforma las coordenadas de la base \(\{e_u, e_v, e_z\}\) al sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & -\frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

• La matriz inversa \( Q^{-1} \) permite transformar vectores en el sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\) al sistema cilíndrico parabólico \(\{e_u, e_v, e_z\}\).

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ -\frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

4 Expresar el campo posicion \(\vec{r}\) en el sistema cilindrico parabolico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Factores de escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.

5 Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar en coordenadas cilíndricas parabólicas es:

Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \).

Transformación de las coordenadas

Sabemos que \( x_2 = uv \), por lo que en términos de \( (u, v, z) \), la función se transforma como sigue:

[math] f(u, v, z) = uv. [/math]

Cálculo de las derivadas parciales Las derivadas parciales de \( f(u, v, z) = uv \) son:

[math] \frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0. [/math]

Cálculo del gradiente \( \nabla f \) El gradiente de \( f \) en coordenadas \( (u, v, z) \) es:

[math] \nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \mathbf{e_u} + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \mathbf{e_v} + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e_z}. [/math]

Sustituyendo las derivadas parciales:

[math] \nabla f = \frac{v}{u^2 + v^2} \mathbf{e_u} + \frac{u}{u^2 + v^2} \mathbf{e_v}. [/math]

Cálculo de las coordenadas \( (u, v, z) \) Las coordenadas \( (u, v, z) \) se obtienen de las ecuaciones de transformación:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Para el punto \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \):

[math] uv = 1, \quad \frac{u^2 - v^2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad u^2 = v^2. [/math]

Por lo tanto:

[math] u = 1, \quad v = 1, \quad z = 1. [/math]

Sustitución en el gradiente

En el punto \( (u, v, z) = (1, 1, 1) \):

[math] h_u = h_v = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad e_u = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right), \quad e_v = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right). [/math]

Sustituyendo en el gradiente:

[math] \nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right). [/math]

Sumando las componentes:

[math] \nabla f = (0, 1, 0). [/math]

Resultado El gradiente de \( f \) en el punto cartesiano \( (0, 1, 1) \) es:

[math] \nabla f = (0, 1, 0). [/math]

6 Divergencia

La divergencia en este sistema es: [math] \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]. [/math]

Ejemplo: calcular la divergencia del campo posición.

Divergencia del campo vectorial en coordenadas cilíndrico-parabólicas

La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se define como:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}. [/math]

Donde las componentes del campo vectorial \( \mathbf{r} \) son:

[math] r_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Paso 1: Derivada respecto a \( u \)

Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \) respecto a \( u \):

[math] \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) = \frac{3u^2 + v^2}{2}. [/math]

Paso 2: Derivada respecto a \( v \)

Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \) respecto a \( v \):

[math] \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) = \frac{u^2 + 3v^2}{2}. [/math]

Paso 3: Derivada respecto a \( z \)

La derivada de \( r_z = z \) respecto a \( z \) es:

[math] \frac{\partial r_z}{\partial z} = 1. [/math]

Paso 4: Sustitución en la fórmula de la divergencia

Sustituyendo todos los términos en la fórmula de la divergencia:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{3u^2 + v^2}{2} + \frac{u^2 + 3v^2}{2} \right] + 1. [/math]

Simplificando:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot 2(u^2 + v^2) + 1 = 2 + 1 = 3. [/math]

Resultado Final

La divergencia del campo posición \( \mathbf{r} \) es:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = 3. [/math]

7 Rotacional

La expresión del rotacional en este sistema es: [math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{vmatrix}. [/math]

Cálculo del Rotacional en Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

En coordenadas cilíndricas parabólicas, los factores de escala son:

[math] h_u = h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1 [/math]

Por lo tanto:

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 \cdot 1 = u^2 + v^2 [/math]

La fórmula para el rotacional en coordenadas ortogonales es:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} h_u e_u & h_v e_v & h_z e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{vmatrix} [/math]

Sustituyendo los factores de escala:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{vmatrix} \sqrt{u^2 + v^2} e_u & \sqrt{u^2 + v^2} e_v & e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2} F_u & \sqrt{u^2 + v^2} F_v & F_z \end{vmatrix} [/math]

Con las componentes del campo:

[math] F_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = z [/math]

Cálculo por Componentes

Componente [math]e_u[/math]

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) [/math]

[math]\frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0[/math] [math]\frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_v) = 0[/math], porque [math]F_v[/math] no depende de [math]z[/math].

Por lo tanto:

[math] e_u = 0 [/math]

Componente [math]e_v[/math]

[math] e_v = \frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) [/math]

[math]\frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_u) = 0[/math], porque [math]F_u[/math] no depende de [math]z[/math].

[math]\frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0[/math].

Por lo tanto:

[math] e_v = 0 [/math]

Componente [math]e_z[/math]

[math] e_z = \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) [/math]

Derivada de [math]h_v F_v[/math] con respecto a [math]u[/math]:

[math] h_v F_v = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{v u^2 + v^3}{2} [/math]

Entonces:

[math] \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2 + v^3}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v^3}{2} \right) = v \cdot u [/math]

Derivada de [math]h_u F_u[/math] con respecto a [math]v[/math]:

[math] h_u F_u = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{u^3 + uv^2}{2} [/math]

Entonces:

[math] \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3 + uv^2}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{uv^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3}{2} \right) = u \cdot v [/math]

Por lo tanto:

[math] e_z = v u - u v = 0 [/math]

Resultado Final

El rotacional es:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = 0 \cdot e_u + 0 \cdot e_v + 0 \cdot e_z = \mathbf{0} [/math]

Esto significa que el campo [math]\mathbf{F}[/math] es irrotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas.

8 Superficies de nivel

Las superficies de nivel para los campos escalares son:

• f₁(u, v, z) = u: Superficie parabólica.
• f₂(u, v, z) = v: Superficie parabólica.
• f₃(u, v, z) = z: Plano horizontal.

Visualización: Dibujar cada superficie de nivel en MATLAB y analizar si son superficies regladas.

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9 Curvatura de una parábola

La parábola es: [math] y = -2x^2 + 2. [/math]

Curvatura: La curvatura es: [math] \kappa(x) = \frac{|y''(x)|}{(1 + (y'(x))^2)^{3/2}}. [/math] Evaluar y graficar κ(x) en MATLAB para x ∈ [-1, 1].

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10 Uso de la parábola en ingeniería

La parábola tiene múltiples aplicaciones en ingeniería, como:

• Diseño de puentes (arcos parabólicos).
• Antenas parabólicas (reflectores).
• Elementos arquitectónicos.

Añadir imágenes de ejemplos y explicar su uso.