Revisión del 15:04 24 nov 2024

Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas, que se denotan por (u, v, z). Estas tienen la siguiente relación con las coordenadas cartesianas (x₁, x₂, x₃):

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\ x_2 &= uv, \\ x_3 &= z, \end{aligned} [/math]

donde u > 0.

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son una generalización de las coordenadas cilíndricas estándar y extienden un cambio de coordenadas en R² a todo el espacio R³. A continuación, se presentan los cálculos, representaciones y aplicaciones.

Contenido 1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) 1.1 Código MATLAB y representación 2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) 2.1 Código MATLAB y representación: 3 Matrices de Cambio de Base 4 Coordenadas cilíndricas parabólicas 4.1 3. Matrices de cambio de base 4.1.1 Relación entre coordenadas 4.1.2 Desarrollo de las componentes 4.1.3 Resultado final 4.2 4. Campo posición en coordenadas cilíndricas parabólicas 4.3 5. Gradiente de un campo escalar 4.4 6. Divergencia 4.5 7. Rotacional 4.6 8. Superficies de nivel 4.7 9. Curvatura de una parábola 4.8 10. Uso de la parábola en ingeniería

Figura 1: Coordenadas Cilindricas Parabolicas.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Líneas coordenadas en cartesianas:

• \(\gamma_u\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con t variable y v, z constantes.
• \(\gamma_v\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con t variable y u, z constantes.
• \(\gamma_z\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con t variable y u, v constantes.

1.1 Código MATLAB y representación

Figura 2: Líneas coordendas.

clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Cálculos: Los campos velocidad de las líneas coordenadas son:

• Para γₐ:

[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)[/math].

• Para γᵥ:

[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)[/math].

• Para γ_z:

[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

Factores de escala: Los factores de escala h_u, hᵥ, h_z son los módulos de los campos velocidad:

[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = |\gamma_z'(z)| = 1. [/math]

Vectores tangentes: Los vectores tangentes unitarios son:

• [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

2.1 Código MATLAB y representación:

Figura 3: Vectores unitarios Eu Ev.

clear,clc,clf
% Punto de interés
u = 1;
v = 1;

% Vectores unitarios en ese punto
h = sqrt(u^2 + v^2);
eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v

% Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en el plano z = 0
x1_u = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u .* v;

% Gráfico
figure;
hold on;
quiver(x1_u, x2_u, eu(1), eu(2), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver(x1_u, x2_u, ev(1), ev(2), 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(x1_u, x2_u, 'k--', 'LineWidth', 1); % Línea coordenada
title('Vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'e_u', 'e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Matrices de Cambio de Base

Las matrices permiten transformar entre las bases cilíndrica parabólica y cartesiana.

• La matriz \( Q \) transforma las coordenadas de la base \(\{e_u, e_v, e_z\}\) al sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & -\frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

• La matriz inversa \( Q^{-1} \) permite transformar vectores en el sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\) al sistema cilíndrico parabólico \(\{e_u, e_v, e_z\}\).

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ -\frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

4 Coordenadas cilíndricas parabólicas

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Factores de escala Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, [/math] [math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, [/math] [math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \) La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

' Conclusión Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.

= Coordenadas cilíndricas parabólicas = Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \(\mathbb{R}^3\) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \((u, v, z)\), y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es la siguiente: \[ x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. \] === Factores de escala === Los factores de escala \(h_u, h_v, h_z\) asociados con las coordenadas \((u, v, z)\) son: \[ h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. \] === Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas === Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) con respecto a las coordenadas \((u, v, z)\) son las siguientes: \[ \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \] \[ \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \] \[ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. \] === Matriz de cambio de base === La matriz de cambio de base \(Q^{-1}\) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como: \[ Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. \] Esta matriz se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. === Transformación de las coordenadas cartesianas a cilíndricas parabólicas === La multiplicación de \(Q^{-1}\) por el vector de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\), dado por: \[ \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, \] produce las coordenadas \((r_u, r_v, r_z)\) en la base \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\). El resultado es: \[ r_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. \] === Conclusión === Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \((u, v, z)\) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \(Q^{-1}\) por el vector de coordenadas cartesianas \(\vec{r}\). h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. </math>

Vectores tangentes: Los vectores tangentes unitarios son:

• [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

Visualización: Dibujar con MATLAB las líneas coordenadas γₐ y γᵥ junto con los vectores tangentes en un punto arbitrario.

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4.1 3. Matrices de cambio de base

Matriz de cambio de base: [math] Q = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z \end{bmatrix}. [/math]

Matriz inversa: [math] Q^{-1} = Q^\top, \quad \text{ya que la base es ortonormal}. [/math]

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4.1.1 Relación entre coordenadas

La relación entre las coordenadas \((r_u, r_v, r_z)\) y el vector \(\vec{r}\) se puede expresar mediante la multiplicación matricial:

\[ \begin{bmatrix} r_u \\ r_v \\ r_z \end{bmatrix} = Q^{-1} \cdot \vec{r}, \]

donde:

- \(Q^{-1}\) es la inversa de la matriz de transformación \(Q\), - \(\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\) son las coordenadas cartesianas.

Expandiendo, se tiene:

\[ \begin{bmatrix} r_u \\ r_v \\ r_z \end{bmatrix} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & u^2 + v^2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}. \]

4.1.2 Desarrollo de las componentes

Al realizar la multiplicación elemento por elemento, se obtiene:

- Para \(r_u\): \[ r_u = \frac{1}{u^2 + v^2} \left( u x_1 + v x_2 \right). \]

- Para \(r_v\): \[ r_v = \frac{1}{u^2 + v^2} \left( -v x_1 + u x_2 \right). \]

- Para \(r_z\): \[ r_z = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot (u^2 + v^2) x_3 = x_3. \]

4.1.3 Resultado final

Por lo tanto, la transformación completa es:

\[ \begin{bmatrix} r_u \\ r_v \\ r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{u^2 + v^2} \left( u x_1 + v x_2 \right) \\ \frac{1}{u^2 + v^2} \left( -v x_1 + u x_2 \right) \\ x_3 \end{bmatrix}. \]

4.2 4. Campo posición en coordenadas cilíndricas parabólicas

El campo posición se expresa como: [math] \mathbf{r}(u, v, z) = \frac{u^2 - v^2}{2} \mathbf{i} + uv \mathbf{j} + z \mathbf{k}. [/math]

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4.3 5. Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar en coordenadas cilíndricas parabólicas es: [math] \nabla f = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\mathbf{e}_u}{h_u} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\mathbf{e}_v}{h_v} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathbf{e}_z}{h_z}. [/math]

Aplicación: calcular el gradiente del campo f(x₁, x₂, x₃) = x₂. 1. Convertir f a coordenadas cilíndricas parabólicas: [math]f(u, v, z) = uv[/math]. 2. Evaluar el gradiente en el punto cartesiano (x₁, x₂, x₃) = (0, 1, 1).

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4.4 6. Divergencia

La divergencia en este sistema es: [math] \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]. [/math]

Ejemplo: calcular la divergencia del campo posición.

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4.5 7. Rotacional

La expresión del rotacional en este sistema es: [math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{vmatrix}. [/math]

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4.6 8. Superficies de nivel

Las superficies de nivel para los campos escalares son:

• f₁(u, v, z) = u: Superficie parabólica.
• f₂(u, v, z) = v: Superficie parabólica.
• f₃(u, v, z) = z: Plano horizontal.

Visualización: Dibujar cada superficie de nivel en MATLAB y analizar si son superficies regladas.

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4.7 9. Curvatura de una parábola

La parábola es: [math] y = -2x^2 + 2. [/math]

Curvatura: La curvatura es: [math] \kappa(x) = \frac{|y''(x)|}{(1 + (y'(x))^2)^{3/2}}. [/math] Evaluar y graficar κ(x) en MATLAB para x ∈ [-1, 1].

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4.8 10. Uso de la parábola en ingeniería

La parábola tiene múltiples aplicaciones en ingeniería, como:

• Diseño de puentes (arcos parabólicos).
• Antenas parabólicas (reflectores).
• Elementos arquitectónicos.

Añadir imágenes de ejemplos y explicar su uso.