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| − | == Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas ==
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| − | En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por ''(u, v, z)''. Su relación con las coordenadas cartesianas ''(x₁, x₂, x₃)'' es:
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| − | <math>
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| − | \begin{aligned}
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| − | x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\
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| − | x_2 &= uv, \\
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| − | x_3 &= z,
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| − | \end{aligned}
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| − | </math>
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| − | donde ''u > 0''.
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| − | Recordad que las coordenadas cilíndricas vistas en clase se pueden ver como la extensión de las coordenadas polares en ''R²'' a todo ''R³'', definiendo la variable ''z'' como la altura cartesiana ''x₃''. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, también se está generalizando un cambio de coordenadas en ''R²'' a todo ''R³'', por lo que algunos apartados se restringen al plano ''x₃ = 0''.
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| − | === 1. Parametrizaciones de las líneas coordenadas γₐ ===
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| − | '''Ecuaciones en coordenadas cartesianas:'''
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| − | * ''γₐ'':
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| − | <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, z \right)</math>, con ''u'' variable.
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| − | * ''γᵥ'':
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| − | <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, z \right)</math>, con ''v'' variable.
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| − | * ''γ_z'':
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| − | <math>(x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, z \right)</math>, con ''z'' variable.
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| − | '''Visualización:''' Dibujar las curvas en MATLAB en el plano ''x₃ = 0''. Estas curvas corresponden a parábolas en ''x₁-x₂''.
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| − | === 2. Campos velocidad y factores de escala ===
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| − | '''Cálculos teóricos:'''
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| − | * Campos velocidad:
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| − | <math>
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| − | \begin{aligned}
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| − | \gamma'_u &= \left( u, v, 0 \right), \\
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| − | \gamma'_v &= \left( -v, u, 0 \right), \\
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| − | \gamma'_z &= \left( 0, 0, 1 \right).
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| − | \end{aligned}
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| − | </math>
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| − | * Factores de escala:
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| − | <math>h_u = \| \gamma'_u \|, \quad h_v = \| \gamma'_v \|, \quad h_z = \| \gamma'_z \|.</math>
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| − | '''Vectores tangentes:''' Expresados en la base cartesiana ''{i, j, k}'', los vectores tangentes son:
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| − | <math>
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| − | \mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u}, \quad \mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v}, \quad \mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
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| − | </math>
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| − | '''Visualización:''' Dibujar en MATLAB los vectores ''eₐ, eᵥ'' en el plano, junto con las líneas coordenadas.
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| − | === 3. Matrices de cambio de base ===
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| − | '''Matriz de cambio de base (Q) y su inversa (Q⁻¹):'''
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| − | <math>
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| − | Q =
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| − | \begin{bmatrix}
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| − | \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z
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| − | \end{bmatrix}, \quad
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| − | Q^{-1} = Q^\top.
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| − | </math>
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| − | === 4. Campo posición ⃗r ===
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| − | En coordenadas cilíndricas parabólicas:
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| − | <math>
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| − | \mathbf{r}(u, v, z) = \frac{u^2 - v^2}{2} \mathbf{i} + uv \mathbf{j} + z \mathbf{k}.
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| − | </math>
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| − | === 5. Gradiente de un campo escalar ===
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| − | El gradiente en este sistema es:
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| − | <math>
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| − | \nabla f = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\mathbf{e}_u}{h_u} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\mathbf{e}_v}{h_v} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathbf{e}_z}{h_z}.
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| − | </math>
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| − | '''Aplicación al campo f(x₁, x₂, x₃) = x₂:'''
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| − | # Convertir ''f'' a coordenadas cilíndricas parabólicas.
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| − | # Calcular ''∇f'' en el punto dado.
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| − | === 6. Divergencia ===
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| − | La expresión general es:
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| − | <math>
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| − | \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].
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| − | </math>
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| − | Cálculo de la divergencia del campo posición ''r''.
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| − | === 7. Rotacional ===
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| − | La expresión general es:
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| − | <math>
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| − | \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix}
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| − | \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z \\
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| − | \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\
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| − | h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z
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| − | \end{vmatrix}.
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| − | </math>
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| − | === 8. Superficies de nivel ===
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| − | Las superficies son:
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| − | * ''f₁(u, v, z) = u'': Parábolas.
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| − | * ''f₂(u, v, z) = v'': Parábolas.
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| − | * ''f₃(u, v, z) = z'': Planos horizontales.
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| − | '''Visualización:''' Dibujar las superficies en MATLAB. Verificar si son superficies regladas.
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| − | === 9. Curvatura de una parábola ===
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| − | La parábola es:
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| − | <math>
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| − | y = -2x^2 + 2.
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| − | </math>
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| − | Calcular su curvatura ''κ(t)'' y graficar en MATLAB.
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| − | === 10. Uso de la parábola en ingeniería ===
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| − | Buscar ejemplos y añadir imágenes de construcciones (puentes, antenas parabólicas, etc.).
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clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;
% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);
% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);
% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;
