Diferencia entre revisiones de «Ecuación de ondas. Grupo Eau De Parfum(EDP)»
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| + | === Pasos para Transformar la Integral === | ||
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| + | '''1. Transformación de Coordenadas:''' | ||
| + | * Elemento de lista de viñetas: Cambiar las coordenadas cartesianas \( (x,y) \) a coordenadas polares \( (r, \theta) \). | ||
| + | * Las coordenadas \( x \) y \( y \) en polares se expresan como \( x = (r_x \cos \theta_x, r_x \sin \theta_x) \) y \( y = (r_y \cos \theta_y, r_y \sin \theta_y) \). | ||
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| + | '''2. Calcular el Jacobiano:''' | ||
| + | * La transformación a coordenadas polares introduce un factor adicional \( r \) en el diferencial del área, es decir, \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \). | ||
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| + | '''3. Reformular la Integral:''' | ||
| + | * Sustituir las variables y el jacobiano en la integral original: \( u(r_x, t) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} K_2(r, t, c) h(r \cos(\theta)) r \, dr \, d\theta. \) | ||
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| + | '''4. Expresar \( r \):''' | ||
| + | * Expresar la distancia \( r \) en términos de \( r_x \) y \( r_y \): \( r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 - 2r_x r_y \cos(\theta)}. \) | ||
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| + | Esta reformulación permite evaluar la integral original en coordenadas polares, facilitando el cálculo en situaciones donde la simetría radial simplifica la solución. | ||
Revisión del 09:55 20 may 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de Ondas. Grupo Eau De Parfum (EDP) |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores |
|
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
2 Contexto histórico
3 Conocimientos previos
4 Ecuación de ondas I
Estamos considerando una cuerda vibrante que se extiende en el intervalo [0,1], con una densidad [math]d[/math] y una tensión constante [math]\tau_0[/math], lo que resulta en una velocidad de propagación [math]c=\frac{\tau_0}{d}=1[/math]. Además suponemos que la cuerda está fija en los extremos y llamamos [math]u_0(x)[/math] y [math]u_1(x)[/math] a su posición e impulso iniciales respectivamente.
El sistema de ecuaciones que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda es:
[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t)=0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) =u_0(x), & t \gt 0, \\ &u_t(x, 0) = u_1(x), \end{aligned} \right. [/math]
La solución general de la ecuación de ondas empleando separación de variables se puede expresar en términos de la serie de Fourier de las condiciones iniciales [math]u_0(x)[/math], [math]u_1(x)[/math]. La solución tiene la forma
[math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} [A_n \cos(n\pi x)+B_n \sin(n \pi x)]sin(n \pi x) [/math]
Donde los coeficientes [math]A_n[/math] y [math]B_n[/math] se determinan a partir de las condiciones iniciales [math]u_0(x)[/math], [math]u_1(x)[/math].Por lo que la solución completa de a ecuación de ondas para la cuerda vibrante con las condiciones iniciales dadas es:
- [math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}[ (2\int_{0}^{1} u_0(x) \sin(n \pi x) dx) \cos(n \pi x) + (\frac{2}{n\pi} \int_{0}^{1} u_0(x) \sin(n \pi x) dx)\sin(n\pi t)] \sin(n\pi x)[/math]
5 Ecuación de ondas II
Para resolver la integral de la función \( u(x,t) \) en coordenadas polares, primero necesitamos reformular la integral en términos de coordenadas polares. La integral original es:
\( u(x,t) = \int_{\mathbb{R}^2} K_2(x-y, t) h(y) \, dy. \)
En coordenadas polares, donde \( x = (r_x \cos \theta_x, r_x \sin \theta_x) \) y \( y = (r_y \cos \theta_y, r_y \sin \theta_y) \), la integral se transforma usando el jacobiano de la transformación polar \( r \, dr \, d\theta \):
\( u(r_x, t) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} K_2(r, t, c) h(r \cos(\theta)) r \, dr \, d\theta, \)
donde
\( r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 - 2r_x r_y \cos(\theta)}. \)
5.1 Pasos para Transformar la Integral
1. Transformación de Coordenadas:
- Elemento de lista de viñetas: Cambiar las coordenadas cartesianas \( (x,y) \) a coordenadas polares \( (r, \theta) \).
- Las coordenadas \( x \) y \( y \) en polares se expresan como \( x = (r_x \cos \theta_x, r_x \sin \theta_x) \) y \( y = (r_y \cos \theta_y, r_y \sin \theta_y) \).
2. Calcular el Jacobiano:
- La transformación a coordenadas polares introduce un factor adicional \( r \) en el diferencial del área, es decir, \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \).
3. Reformular la Integral:
- Sustituir las variables y el jacobiano en la integral original: \( u(r_x, t) = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} K_2(r, t, c) h(r \cos(\theta)) r \, dr \, d\theta. \)
4. Expresar \( r \):
- Expresar la distancia \( r \) en términos de \( r_x \) y \( r_y \): \( r = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 - 2r_x r_y \cos(\theta)}. \)
Esta reformulación permite evaluar la integral original en coordenadas polares, facilitando el cálculo en situaciones donde la simetría radial simplifica la solución.
