Diferencia entre revisiones de «Ecuación de ondas. Grupo Eau De Parfum(EDP)»
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Revisión del 09:43 20 may 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
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| Título | Ecuación de Ondas. Grupo Eau De Parfum (EDP) |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores |
|
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
2 Contexto histórico
3 Conocimientos previos
4 Ecuación de ondas I
Estamos considerando una cuerda vibrante que se extiende en el intervalo [0,1], con una densidad [math]d[/math] y una tensión constante [math]\tau_0[/math], lo que resulta en una velocidad de propagación [math]c=\frac{\tau_0}{d}=1[/math]. Además suponemos que la cuerda está fija en los extremos y llamamos [math]u_0(x)[/math] y [math]u_1(x)[/math] a su posición e impulso iniciales respectivamente.
El sistema de ecuaciones que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda es:
[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t)=0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) =u_0(x), & t \gt 0, \\ &u_t(x, 0) = u_1(x), \end{aligned} \right. [/math]
La solución general de la ecuación de ondas empleando separación de variables se puede expresar en términos de la serie de Fourier de las condiciones iniciales [math]u_0(x)[/math], [math]u_1(x)[/math]. La solución tiene la forma
[math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} [A_n \cos(n\pi x)+B_n \sin(n \pi x)]sin(n \pi x) [/math]
Donde los coeficientes [math]A_n[/math] y [math]B_n[/math] se determinan a partir de las condiciones iniciales [math]u_0(x)[/math], [math]u_1(x)[/math].Por lo que la solución completa de a ecuación de ondas para la cuerda vibrante con las condiciones iniciales dadas es:
- [math]u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}[ (2\int_{0}^{1} u_0(x) \sin(n \pi x) dx) \cos(n \pi x) + (\frac{2}{n\pi} \int_{0}^{1} u_0(x) \sin(n \pi x) dx)\sin(n\pi t)] \sin(n\pi x)[/math]
