Diferencia entre revisiones de «Ecuaciones de Laplace y de Poisson»
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Como hemos visto antes, la fórmula da problemas para puntos cercanos al borde. Esto lleva a una representación irregular de la frontera si dibujamos la solución sin tener en cuenta este problema. | Como hemos visto antes, la fórmula da problemas para puntos cercanos al borde. Esto lleva a una representación irregular de la frontera si dibujamos la solución sin tener en cuenta este problema. | ||
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Es por esto por lo que la condición frontera no es prescindible en el problema. Para estimar <math> U(r,\theta)</math>, utilizaremos la fórmula de Poisson para puntos ligeramente alejados del borde, y en el propio borde utilizaremos la condición frontera <math>U(R, \theta) = G(\theta)</math>. | Es por esto por lo que la condición frontera no es prescindible en el problema. Para estimar <math> U(r,\theta)</math>, utilizaremos la fórmula de Poisson para puntos ligeramente alejados del borde, y en el propio borde utilizaremos la condición frontera <math>U(R, \theta) = G(\theta)</math>. | ||
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==== Solución por la serie de Fourier ==== | ==== Solución por la serie de Fourier ==== | ||
=== Comportamiento de la solución === | === Comportamiento de la solución === | ||
Revisión del 15:22 18 abr 2024
Contenido
1 Introducción
En este documento, nos centraremos en dos ecuaciones que tienen un amplio uso en diversos ámbitos como electrostática, mecánica de fluidos, física teórica y magnetostática: la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson. Ambas ecuaciones las estudiaremos en el plano y las veremos aplicadas en problemas concretos. Veremos las limitaciones que presenta la fórumla de Poisson así como diferentes métodos analíticos para aproximar soluciones, y raíz de esto, analizaremos errores de aproximación. Por último, estudiaremos el comportamiento de soluciones tanto en un dominio dado, utilizando la desigualdad de Harnack, como asintóticamente en infinito.
CREO QUE AQUÍ ME FALTAN PUNTOS Y COMAS
2 Ecuación de Laplace
La ecuación de Laplace, cuyo nombre nombre honra al distinguido físico-matemático Pierre-Simon Laplace, es una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico. REFERENCIA? Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es,
con [math]u:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/math] como incógnita. Esta ecuación se define en un dominio [math] \Omega [/math], y en su frontera [math] \partial \Omega [/math] se pueden añadir condiciones de contorno Dirichlet, Neuman o mixtas. En este trabajo nos centraremos en las condiciones de contorno de tipo Dirichlet, las cuales igualan [math] u [/math] a una función específica [math] g [/math]. Con todo esto, llegamos al siguiente problema de derivadas parciales.
A fin de comprender mejor este problema, podemos examinar el siguiente ejemplo en concreto.
2.1 Ejemplo Laplace
Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en el origen. Planteamos el problema,
A lo largo de este documento, en lo que tiene que ver con la ecuación de Laplace, visitaremos este ejemplo varias veces.
3 Calcular la solución de la ecuación de Laplace en el plano
Dentro de la resolución del problema planteado existen varios métodos por los que proceder. En este trabajo estudiaremos dos: la fórmula de Poisson y la serie de Fourier.
3.1 Solución por la fórmula de Poisson
Encontrar la solución del problema mediante la fórmula de Poisson viene determinado por el siguiente teorema.
3.1.1 Teorema
La solución [math] u \in C^2(B_R \cup C(\overline{B_R}) [/math]del problema [math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in B_R \\ u = g, & \text{x} \in \partial B_R \end{cases}[/math] donde [math]g[/math] es una función continua viene dado por la fórmula de Poisson
Es importante destacar que el denominador [math]|\vec{x}-\sigma|^2 [/math] se anula en la frontera de la bola llevándonos a una indeterminación. Sin embargo, el término [math]R^2-|\vec{x}|^2[/math] se hace infinito compensando así la indeterminación anterior.
Otra forma de expresar la fórmula de Poisson es en coordenadas polares [math](r, \theta)[/math].
Donde, [math]\vec{x} = (x_1, x_2) = (rcos(\theta), rsen(\theta)) [/math] y [math] g(rcos(\theta), rsen(\theta)) = G(\theta)[/math]. En estas coordenadas el problema pasa a ser,
Traduzcamos esto a la bola unidad.
3.1.2 Ejemplo Laplace
Nuestro ejemplo anterior pasado a coordenadas polares,
Para la resolución de este problema vamos a tomar [math]G(\theta) = máx\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\}[/math] y utilizaremos la fórmula de Poisson en polares, [math] U(r,\theta)=\frac{1r^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{G(s)}{1+r^2-2rcos(\theta-s)} ds. [/math] Como hemos visto antes, la fórmula da problemas para puntos cercanos al borde. Esto lleva a una representación irregular de la frontera si dibujamos la solución sin tener en cuenta este problema.
FOTO SIN LA CONDICIÓN FRONTERA
Es por esto por lo que la condición frontera no es prescindible en el problema. Para estimar [math] U(r,\theta)[/math], utilizaremos la fórmula de Poisson para puntos ligeramente alejados del borde, y en el propio borde utilizaremos la condición frontera [math]U(R, \theta) = G(\theta)[/math].
FOTO CON LA CONDICION FRONTERA
En esta nueva gráfica podemos apreciar como la frontera no presenta las irregularidades anteriores. Para conseguir estas gráficas hemos implementado el siguiente código en MatLab.
CÓDICO
