Diferencia entre revisiones de «Borrador1»
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Se comenzará definiendo la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por <math> \phi(x) = -\frac{1}{2\pi} log(|x|) </math> si n=2 y <math> \phi(x) = \frac{1}{4\pi |x| } </math> si n=3. | Se comenzará definiendo la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por <math> \phi(x) = -\frac{1}{2\pi} log(|x|) </math> si n=2 y <math> \phi(x) = \frac{1}{4\pi |x| } </math> si n=3. | ||
| − | === Potencial newtoniano === | + | === Potencial newtoniano para <math> \mathbb{R}^3</math> === |
Supongamos que <math> f(x) </math> | Supongamos que <math> f(x) </math> | ||
| − | representa la densidad de una carga contenida en un conjunto compacto dentro del espacio tridimensional <math> \mathbb{R}^ | + | representa la densidad de una carga contenida en un conjunto compacto dentro del espacio tridimensional <math> \mathbb{R}^3</math>. |
Entonces, la expresión <math> \phi(x-y)f(y)dy</math> denota el potencial en el punto x. De esta manera el potencial total viene dado por la siguiente expresión: | Entonces, la expresión <math> \phi(x-y)f(y)dy</math> denota el potencial en el punto x. De esta manera el potencial total viene dado por la siguiente expresión: | ||
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Esta fórmula se conoce como potencial Newtoniano de f y se aplica sobre funciones que en el infinito tienden de manera rápida a cero. | Esta fórmula se conoce como potencial Newtoniano de f y se aplica sobre funciones que en el infinito tienden de manera rápida a cero. | ||
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| + | A su vez, sea <math>f \in C^2(\mathbb{R}^3)</math> con soporte compacto. Sea <math>u</math> el potencial newtoniano de <math>f</math>, definido por el potencial Newtoniano. Entonces, <math>u</math> es la única solución en <math>\mathbb{R}^3</math> de <math>\Delta u = -f</math> que pertenece a <math>C^2(\mathbb{R}^3)</math> y se anula en el infinito. Es decir, dado: | ||
| + | <center><math> \begin{cases} | ||
| + | \Delta u = -f \\ | ||
| + | u(x) \rightarrow 0 & \text{si } |x| \rightarrow \infty | ||
| + | \end{cases}</math></center> | ||
| + | su solución viene dada por el potencial newtoniano que se presenta anteriormente. | ||
Revisión del 11:01 18 abr 2024
1 Ecuación de Poisson
En esta parte del documento se va a proceder a resolver la ecuación de Poisson mediante un nuevo método. En primer lugar, esta ecuación viene dada por [math] \Delta u = f [/math] siendo [math]u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math]y [math] f \in C^2(\mathbb{R})[/math]. Para este estudio se particularizará para n=2 y n=3.
Se comenzará definiendo la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por [math] \phi(x) = -\frac{1}{2\pi} log(|x|) [/math] si n=2 y [math] \phi(x) = \frac{1}{4\pi |x| } [/math] si n=3.
1.1 Potencial newtoniano para [math] \mathbb{R}^3[/math]
Supongamos que [math] f(x) [/math] representa la densidad de una carga contenida en un conjunto compacto dentro del espacio tridimensional [math] \mathbb{R}^3[/math].
Entonces, la expresión [math] \phi(x-y)f(y)dy[/math] denota el potencial en el punto x. De esta manera el potencial total viene dado por la siguiente expresión:
Esta fórmula se conoce como potencial Newtoniano de f y se aplica sobre funciones que en el infinito tienden de manera rápida a cero.
A su vez, sea [math]f \in C^2(\mathbb{R}^3)[/math] con soporte compacto. Sea [math]u[/math] el potencial newtoniano de [math]f[/math], definido por el potencial Newtoniano. Entonces, [math]u[/math] es la única solución en [math]\mathbb{R}^3[/math] de [math]\Delta u = -f[/math] que pertenece a [math]C^2(\mathbb{R}^3)[/math] y se anula en el infinito. Es decir, dado:
su solución viene dada por el potencial newtoniano que se presenta anteriormente.
