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Revisión del 18:12 14 feb 2024

1 Introducción

Fue entre 1807 y 1811, mientras llevaba a cabo un estudio sobre la ecuación del calor, cuando el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier publicó el primer estudio sobre la serie que recibe su nombre, la serie de Fourier.

Una serie de Fourier consiste en una serie infinita y convergente puntualmente a una función continua y periódica. La gran importancia de esta radica en su increíble eficacia para aproximar funciones, pues fue el matemático quien llegó a la conclusión de que cualquier función periódica e integrable de Riemann en el intervalo [-T,T] puede escribirse como suma infinita de funciones trigonométricas. De esta manera, se da lugar a la siguiente expresión que representa la serie, donde [math] a_0,a_n, b_n \in \mathbb{R} [/math] se conocen como coeficientes de Fourier:

Además, los coeficientes de Fourier se obtienen de la siguiente manera.

FALTA EL CÁLCULO DE COEFICIENTES

2 Bases trigonométricas

Tal y como se ha observado con anterioridad cualquier función periódica e integrable de Riemann en el intervalo [-T,T] puede escribirse como suma infinita de funciones trigonométricas. El primer paso para comprender este concepto es definir la base ortogonal que permite mediante combinaciones lineales de los coeficientes de Fourier aproximar cualquier función. Esta base se encuentra en el espacio de Hilbert [math]L^2([-T,T])[/math] y viene dada por [math]\{ \frac{1}{2},\cos(\frac{n \pi x}{T}),\sin(\frac{n \pi x}{T})\}_{n \in \mathbb{N}}[/math].

Para comprender de manera óptima este concepto se presenta a continuación gráficamente los diez primeros términos de dicha base en el intervalo [-1,1]. Para obtener dicha representación, se ha utilizado el código que aparece posteriormente. Analíticamente, simplemente se debe sustituir la expresión de la base anterior para T=1.

Elemento de la base 1/2

%% Apartado 1
clear
close all
n=10;
x=-1:0.001:1;  %Intervalo de x [-1,1]
f=@(x,n)cos(n*pi*x);
g=@(x,n)sin(n*pi*x);
y=1/2*ones(size(x));

% Representación de 1/2
figure(3)
axis square
plot(x,y)

Elemento de la base del coseno

Elemento de la base del seno

Como se puede observar en las últimas dos, el valor de n es inversamente proporcional al periodo. Esto permite aproximarnos a la conclusión que posteriormente se enunciará de que cuanto mayor sea el valor de la n mejor aproximación de la función se obtendrá.

3 Aproximación de funciones continuas

Tal y como se ha enunciado anteriormente, la gran importancia de las series de Fourier radica en su increíble eficacia para aproximar funciones periódicas. A su vez, se va a realizar un análisis de como extender funciones continuas en el intervalo [0, T] al intervalo [-T, T] y que estas continúen siendo continuas. De esta manera solo se utilizaría para su aproximación las funciones pares o impares de las bases.

En primer lugar se debe diferenciar que ocurre cuando la extensión es par o impar. En el primer caso, la aproximación simplemente se realiza utilzando los elementos de la base del coseno y el

Consideremos, por ejemplo, la función a aproximar [math] f(x) = x(1-x) [/math] en el intervalo [0,1]. Esta función se aproxima por extensión impar, en efecto, ejecutando las siguientes líneas de código vemos como los coeficientes pares son nulos. Cabe mencionar que los coeficientes de Fourier no se han calculado por integración, sino que se han aproximado utilizando la fórmula del trapecio.

CÓDIGO?? RESULTADO DEL CÓDIGO??

Luego, la función que aproximará f(x) tiene la forma,

En las siguientes gráficas apreciamos como según crece n, [math] f_n(x)[/math] se va acercando más a la función original f(x). En concreto se muestran los casos para n = 1, 5 y 10.

GRÁFICAS?? CÓDIGO?

Esto también se puede ver claramente si calculamos el error que se comete entre f(x) y [math] f_n(x)[/math] para cada n. Se muestran dos gráficas donde se representan los errores para n = 1, 5 y 10 con las normas L^2 y uniforme.

GRÁFICAS/CÓDIGO