Diferencia entre revisiones de «Bases de Fourier»
(→Aproximación de una función discontinua) |
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==== Teorema ==== | ==== Teorema ==== | ||
Si <math> f \in L^2 ([-\pi,\pi]) </math> y verifica la condición de Dirichlet entonces la serie de Fourier converge puntualmente en los puntos de continuidad. Es decir: | Si <math> f \in L^2 ([-\pi,\pi]) </math> y verifica la condición de Dirichlet entonces la serie de Fourier converge puntualmente en los puntos de continuidad. Es decir: | ||
| − | * Si <math> x_0 </math> es un punto de continuidad | + | * Si <math> x_0 </math> es un punto de continuidad entonces, <math> f(x_0)=lim_{n\to\infty}\{\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n \pi x) +b_n \cos(n\pi x)]\} </math> . |
| − | * Si <math> x_0 </math> es un punto de discontinuidad | + | * Si <math> x_0 </math> es un punto de discontinuidad entonces la serie converge en <math> x_0 </math a <math> \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2} </math> |
| − | En <math> | + | En <math>-\pi</math> y <math>\pi</math> la serie converge a <math> \frac{f(\pi) + f(-\pi)}{2} </math>. |
Revisión del 19:05 13 feb 2024
1 Aproximación de una función discontinua
Como se ha mencionado anteriormente las series de Fourier convergen a una función continua. Sin embargo, ¿cómo hacemos para aproximar funciones no estrictamente continuas?. Esta cuestión se resuelve teniendo en cuenta la condición de Dirichlet. Esta indica el intervalo [-pi,pi] se puede dividir en un conjunto de subintervalos finitos en los cuales la función es monótona, si la función es continua salvo en un número finito de puntos con discontinuidad de salto finito.
Nos apoyaremos entonces en el siguiente teorema.
1.1 Teorema
Si [math] f \in L^2 ([-\pi,\pi]) [/math] y verifica la condición de Dirichlet entonces la serie de Fourier converge puntualmente en los puntos de continuidad. Es decir:
- Si [math] x_0 [/math] es un punto de continuidad entonces, [math] f(x_0)=lim_{n\to\infty}\{\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n \pi x) +b_n \cos(n\pi x)]\} [/math] .
- Si [math] x_0 [/math] es un punto de discontinuidad entonces la serie converge en [math] x_0 \lt/math a \ltmath\gt \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2} [/math]
En [math]-\pi[/math] y [math]\pi[/math] la serie converge a [math] \frac{f(\pi) + f(-\pi)}{2} [/math].
