Diferencia entre revisiones de «Cicloide (grupo del Retiro)»

Revisión del 13:00 14 dic 2023

1 Introducción

La cicloide se puede describir como el recorrido/trayectoria que sigue un punto de una circunferencia cuando esta rueda a lo largo de una línea recta sin deslizamiento. Esto explica que hay infinidad de cicloides, es decir, dependiendo del tamaño del radio de la circunferencia dependerá el tamaño del cicloide. ¿Y qué pasaría si la circunferencia no da la vuelta completa? Pues esto solo trazaría parte de la cicloide, es decir si la circunferencia recorre media vuelta, π radianes, solo se trazará media cicloide. Después de estas 2 observaciones podemos afirmar que una cicloide depende del radio de la circunferencia y el ángulo (las vueltas que esté de). Es decir que esto nos da las ecuaciones paramétricas de una cicloide, que a posteriori podemos modificar para tener.

     x=rθ-rsinθ
     y=r-rcosθ

Despejando Theta obtenemos:

Figura 1: Ecuación de la cicloide, cuyo ángulo ha sido despejado.

2 Representación de la Curva

Figura 2: La Cicloide

La curva generada con el código de MATLAB:

1 t=linspace(0,2*pi,100);
2 x=t-sin(t);
3 y=1-cos(t);
4 
5 % Cicloide
6 plot(x,y,'r')
7 xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
8 xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
9 xlim([0 2*pi])
10 ylim([0 2*pi])
11 title('Cicloide')

3 Los vectores de velocidad y aceleración de la Cicloide

Figura 3: Cicloide, velocidades y aceleraciones

Los vectores representados con la curva en código de MATLAB:

1 T=linspace(0,2*pi,50);
2 P=0:pi/6:2*pi;
3 x=T-sin(T);
4 y=1-cos(T);
5 j=P-sin(P);
6 a=1-cos(P);
7 b=sin(P);
8 c=cos(P);
9
10 %Representación gráficas
11 hold on
12 plot(x,y,'k')
13 xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
14 xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
15 quiver(j,a,a,b)
16 quiver(j,a,b,c,'b')
17 xlim([-0.33 6.5])
18 ylim([-0.33 4])
19 title('Cicloide, velocidades y aceleraciones')
20 hold off

4 La Longitud de la Cicloide

Teniendo en cuenta los límites del paramtro t, la parametrización de la curva y las derivadas de x e y respecto de t:

0≤t≤2*π
x=t-sin(t)
y=1-cos(t)
dx/dt=1-cos(t)
dy/dt=sin(t)

Y también que la longitud de una curva culquiera=ʃ_t=a^t=b((dx/dt)²+(dy/dt)²)^1/2 dt, calcularemos la longitud de la curva:

Longitud de la cicloide=ʃt=0t=2*π((1-cos(t))²+(sin(t))²)^1/2 dt = ʃt=0t=2*π(1+cos²(t)-2cos(t)+sin²(t))^1/2 dt = *como sabemos que cos²(t)+sin²(t)=1, sustituimos, por tanto*=
= ʃt=0t=2*π(2-2cos(t))^1/2 dt = *sacamos factor común de √2, entonces* = √2ʃt=0t=2*π(1-cos(t))^1/2 dt = *multiplicamos y dividimos por (1+cos(t))^1/2, el conjugado* =
= √2ʃt=0t=2*π((1-cos(t))^1/2)*((1+cos(t))^1/2)/((1+cos(t))^1/2) dt = √2ʃt=0t=2*π((1-cos²(t))^1/2)/((1+cos(t))^1/2) dt = *sin²=1-cos²(t)* = √2ʃt=0t=2*π((sin²(t))^1/2)/((1+cos(t))^1/2) dt =
= √2ʃt=0t=2*π|sin(t)|/((1+cos(t))^1/2) dt = *separamos la integral debido al valor absoluto* = √2*(ʃt=0t=πsin(t)/((1+cos(t))^1/2) dt + ʃt=πt=2*πsin(t)/((1+cos(t))^1/2) dt) = *resolvemos* =
= √2*[(-2*(1+cos(t))^1/2)t=0t=π + (2*(1+cos(t))^1/2)t=πt=2*π] = √2*[-2*((1+cos(π))^1/2-(1+cos(0))^1/2) + 2*((1+cos(2*π))^1/2-(1+cos(π))^1/2)] =
= √2*[-2*(0-√2) + 2*(√2-0)]------>Longitud de la cicloide = 8 unidades.

5 Los vectores de tangentes y normales de la Cicloide

Figura 4: Cicloide, vectores tangentes y normales

Los vectores representados con la curva en código de MATLAB:

1 T=linspace(0,2*pi,50);
2 P=0:pi/6:2*pi;
3 x=T-sin(T);
4 y=1-cos(T);
5 j=P-sin(P);
6 a=1-cos(P);
7 b=sin(P);
8 
9 %Representación gráficas
10 hold on
11 plot(x,y,'k')
12 quiver(j,a,a,b)
13 quiver(j,a,-b,a,'b')
14 xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
15 xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
16 xlim([-0.5 6.8])
17 ylim([-0.5 4.5])
18 title('Cicloide, vectores tangentes y normales')
19 hold off

6 La Curvatura de la Cicloide

La magnitud de desvío de la trayectoria recta de una cicloide en un punto dado, es conocida como curvatura. Para medir la curvatura en sí de cualquier curva, se emplea la misma ecuación, la cual es:

Figura 5: Ecuación de curvatura

Considerando las derivadas de la ecuación de la cicloide, se puede sustituir en la ecuación de la curvatura para que quede simplificada para nuestro trabajo, esto se muestra a continuación:

Figura 6: Ecuación de curvatura de la cicloide

Para calcular la curvatura en función del ángulo theta se empleó el debido código en MATLAB, asimismo se realizó su respectiva gráfica.

t=linspace(0,2*pi(),1000);
K=-((sqrt(2-2.*cos(t)))./(4.*(1-cos(t))));
plot(t,K);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
yticks([-0.25 0])
axis("equal")
grid on

Figura 7: Gráfica de la curvatura en función del ángulo de la cicloide

7 La Circunferencia Osculatriz de una Cicloide

Para hallar la Circunferencia Osculatriz, tenemos que primero hallar el radio y luego el punto en el que se encuentra el centro de dicha circunferencia.

El radio es el inverso de la curvatura en valor absoluto, es decir:

Figura 8: El radio de la Circunferencia Osculatriz

y las coordenadas del centro se encuentran tangente al vector normal a la misma distancia del radio en el punto de la curva donde φ=0.3, es decir:

Figura 9: Las coordenadas del Centro de la Circunferencia Osculatriz

Figura 10: La Circunferencia Osculatriz

La circunferencia osculatriz cuando φ=0.3 en código de MATLAB:

t=linspace(0,2*pi,1000);
xcic=t-sin(t);
ycic=1-cos(t);
T=0.3;
K=-((sqrt(2-2.*cos(T)))./(4.*(1-cos(T))));
R=1/abs(K);
x=T-sin(T);
y=1-cos(T);
v=[x;y];
n=[sin(T);-1+cos(T)];
mod=sqrt((sin(T)).^2+(-1+cos(T)).^2);
N=n/mod;
C=v+R.*N;
xunit = R * cos(t)+C(1);
yunit = R * sin(t)+C(2);
hold on
plot(xcic,ycic,'r')
plot(xunit, yunit,'b');
xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
xlim([0 2*pi]);
ylim([-2 4]);
hold off

8 La Cicloide en R³

Para llegar a representar la superficie en la cicloide, primeramente se debe conocer la respectiva ecuación con su parametrización en cartesianas con 2 parámetros:

Figura 11: Ecuación de la cicloide en R³

x1=V;
x2=T-sin(T);
x3=1+cos(T);

Los valores de V pertenecen entre 0 y 1, mientras que los de T entre 0 y 2π.

La representación de la curva según estos parámetro es la siguiente:

Figura 12: La Cicloide en R³

El código de matlab para la Cicloide en R^3:

t=linspace(0,2*pi,100);
v=linspace(0,1,100);
[T,V]=meshgrid(t,v);
x1=V;
x2=T-sin(T);
x3=1+cos(T);
surf(x1,x2,x3)
yticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
yticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
xlim([0 1])
ylim([0 2*pi])
zlim([0 4])
title('Superficie reglada: Cicloide')

9 La Masa de una Cicloide como superficie

Suponiendo que la la densidad de la superficie de la superficie anterior viene dada por:

Figura 13: Ecuación de la densidad de la cicloide

La densidad en la cicloide varía dependiendo del propio ángulo theta de la superficie, ya que el valor de x₂ sale de la ecuación de la superficie mostrada anteriormente, además dicho ángulo comparte concepto con los apartados anteriores, solo que ahora se extiende sobre una superficie en lugar de un alambre. A continuación se adjunta como se distribuye para el valor absoluto, ya que la densidad no puede ser negativa:

Figura 14: Gráfica de la densidad de la cicloide en función de theta

Para llegar a esta gráfica se utilizó el siguiente código en MATLAB:

t=linspace(0,2*pi,1000);
X2=t-sin(t);
Dens=abs(cos(X2));
plot(t,Dens)
xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
xlabel('Ángulo Theta')
ylabel('Densidad')
title('Distribución de densidad en función del ángulo')
xlim([0,2*pi])

Mediante la misma parametrización en cartesianas de la superficie y la ecuación de densidad anterior, se procede a calcular la masa de la superficie expuesta. La ecuación para calcular la masa es la siguiente:

Figura 15: Ecuación de la masa de una superficie

La resolución de dicha ecuación:

Figura 16: Cálculo de la masa

10 Cicloides en el mundo real