Diferencia entre revisiones de «Grupo 37 Cicloide»
(→La cicloide en R^3) |
(→Información acerca del cicloide) |
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| Línea 145: | Línea 145: | ||
==Información acerca del cicloide== | ==Información acerca del cicloide== | ||
| + | La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta. Su aplicación en ingeniería civil se aplica en la resolución de problemas físicos y matemáticos y está relacionada con el diseño de curvas para ciertos elementos arquitectónicos o estructurales. | ||
==El cicloide en la ingeniería civil== | ==El cicloide en la ingeniería civil== | ||
Revisión del 14:30 13 dic 2023
Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)[/math]
Contenido
1 Representación gráfica de la curva
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab.
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
2 Vector velocidad y aceleración
2.1 Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración
El vector posición es el vector wue describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
El vcector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost)[/math]
[math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cost)\vec i +(sent)\vec j [/math]
[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = (sent)\vec i + (cost)\vec j[/math]
2.2 Representación gráfica de los vectores
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
3 Longitud de la curva
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8[/math]
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
4 Vectores tangente y normal
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
5 Curvatura
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
6 Circunferencia osculatriz
7 Información acerca del cicloide
La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta. Su aplicación en ingeniería civil se aplica en la resolución de problemas físicos y matemáticos y está relacionada con el diseño de curvas para ciertos elementos arquitectónicos o estructurales.
8 El cicloide en la ingeniería civil
9 La cicloide en R^3
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
