Diferencia entre revisiones de «Grupo 37 Cicloide»
(→Longitud de la curva) |
(→Definición del vector posición, velocidad y aceleración) |
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| Línea 30: | Línea 30: | ||
== Vector velocidad y aceleración== | == Vector velocidad y aceleración== | ||
| − | ===Definición | + | ===Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración=== |
El vector posición es el vector wue describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura. | El vector posición es el vector wue describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura. | ||
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Revisión del 13:57 13 dic 2023
Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)[/math]
Contenido
1 Representación gráfica de la curva
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab.
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
2 Vector velocidad y aceleración
2.1 Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración
El vector posición es el vector wue describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
El vcector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost)[/math]
[math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cost)\vec i +(sent)\vec j [/math]
[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = (sent)\vec i + (cost)\vec j[/math]
2.2 Representación gráfica de los vectores
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
3 Longitud de la curva
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8[/math]
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
4 Vectores tangente y normal
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
5 Curvatura
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
