Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (Grupo 23)»

Revisión del 22:03 12 dic 2023

1 Introducción

2 Mallado de la sección transversal de la tubería

El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería [math] x_{1} = 0 [/math], fijando los ejes en la región [math] \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. [/math]

centro

x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)                                                    
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off

3 Ecuación Navier-Stokes

La velocidad esta definida por el campo vectorial [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}[/math] y su presión por el camp escalar [math]p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) [/math] siendo [math] p_{1} [/math] es la presión en [math] z=1 [/math], [math] p_{2} [/math] la presión en [math] z=3 [/math] y [math] \mu [/math] su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: [math] \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, [/math]

Si [math] \left ( \vec{u},\rho \right ) [/math] satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

[math] \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} [/math].

Mutiplicando por [math] \rho [/math] e integramos dos veces obtenemos que

[math] f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k[/math].

Para encontrar la solución exacta suponemos que para [math] \rho=2 [/math] y para [math] \rho=2 [/math], [math] f\left ( \rho \right )=0 [/math],obteniendo:

[math]f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ][/math]

Ademas, al ser la funcion de velocidad [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}[/math] y [math] f\left ( \rho \right ) [/math] no depender de [math] z [/math] su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

4 Representación del campo de presiones y velocidades

Suponiendo que [math] p_{1}=4, p_{2}=1 [/math] y [math]\mu=1 [/math], primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el campo de presiones introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión [math]p\left ( x,y \right ) [/math]: [math]p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} [/math]

- Calculamos ahora el campo de velocidades utilizando la ecuación de la velocidad dada: [math]\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} [/math], siendo [math] f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}+p_{2}\right)\vec{e_{z}}[/math],(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos: [math]f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{5}\right)\vec{e_{z}}[/math]

Una vez calculados procedemos a representarlos:

Campo de presiones: como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.

centro

z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');

Campo de velocidades: el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.

centro

x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+5;
uy=-3/4*yy.^2+5;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')

5 Líneas de Corriente del Campo

[math]\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}[/math].

Sustituyendo [math]f\left(\rho\right)[/math] en la ecuación se obtiene:

[math]\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}+p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}[/math].

[math]\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}+p_{2}}{\mu}\ [/math].

[math]\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}+p_{2}}{\mu}\rho[/math].

[math]\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {5}\rho[/math]

6 Velocidad Máxima del Fluido

Óscar

7 Rotacional del Campo

Jaime

8 Temperatura Máxima

Jorge y Galarza

9 Gradiente de Temperatura

Jorge y Galarza

10 Caudal de la Sección Transversal

Jorge y Galarza