Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (grupo 13)»
(→Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración) |
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Revisión del 19:48 12 dic 2023
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La clotoide. Grupo 13 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Pablo Esteban Coca Hugo Gutiérrez Iscar Nicole Di Natale Berdeal Berta Ramos Domínguez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 13, que se centra mayoritariamente en el estudio la clotoide. La clotoide es una curva plana formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. Además, desarrollaremos una superficie reglada a partir de una hélice dada. En ambos casos nos enfocaremos en sus estudios matemáticos, así como en su relación con la ingeniería. Para realizar los cálculos con precisión, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE. Los dos programas nos ayudarán a representar gráficamente los elementos pedidos, para así entender los cálculos de manera más visual.
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
1 La Clotoide
1.1 Dibujo de la curva
Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Matlab.
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
1.2 Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración
Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:
Para ello usaremos las siguientes fórmulas:
- Para el vector velocidad:
[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
- Para el vector aceleración:
[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores Velocidad y aceleración
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; %aceleracion
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");
1.3 Cálculo longitud de la curva
Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]
1.4 Cálculo de los vectores tangente y normal
Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
- El vector tangente:
[math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
- El vector normal:
[math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
%vectores tangente y normal
norma=sqrt(1+4*t.^2);
T1=linspace(0,4,n)./norma;
T2=2*t./norma;
% Grafica
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'m'); %tangente
quiver(x,y,-T2,T1,'g'); %normal
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
1.5 Cálculo de la curvatura
Estudiaremos la curvatura en el punto [math] γ(t) [/math] que viene dada por la siguiente fórmula:
[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] [math] =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t [/math]
%Representación de la curvatura
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
1.6 Cálculo de la circunferencia osculatriz
Dado el Punto [math] P=\gamma (1) [/math], es decir [math] t=1 [/math], hallamos el centro y el radio utilizando las siguientes fórmulas:
- El radio:
[math] R(t)=\frac{1}{\kappa (t)}=\frac{1}{t} [/math], por lo que el [math] R=1 [/math]
- El centro:
[math] Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)} \vec n(t) [/math] , en nuestro caso:
[math] Q(t)= (Q_{X},Q_{y})=[\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot (-sen(\frac{t^2}{2})) , \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds+\frac{1}{1}\cdot cos(\frac{t^2}{2})] [/math]
[math] Q(1)=[0+(-sen(\frac{1}{2}))] , [0+cos(\frac{1}{2})]=[-sen(\frac{1}{2}) , cos(\frac{1}{2})] [/math]
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Parámetros
% Vector de parámetros
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
%circunferencia oscculatriz
%punto para t=1
P=[x(1),y(1)]
%vector normal
n=[-sin(1/2),cos(1/2)]
%curvatura y radio de la curvatura
k=1;
R=1/1;
fprintf('El radio de la curvatura es %d \n',R);
%centro de la circunferencia osculatriz
Q=P+R*n;
fprintf('El radio de la curvatura es %f,%f \n',Q);
tt=linspace(0,2*pi,40);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%dibujamos
figure
hold on
plot(x,y,'m','linewidth',1)
%punto p
plot(P(1), P(2),'*k','linewidth',1)
plot(xx,yy,'b')
axis equal
hold off
title('Circunferencia osculatriz.');
1.7 Definiciones e información de interés
La clotoide, también conocida como espiral de Cornú, es una curva plana, formada con dos extremos de forma parecida a una espiral (aunque no son espirales), enlazadas entre sí por un tramo curvo, formando ambos extremos una simetría central. Su curvatura varía linealmente con la longitud del arco. Debido a esta propiedad la clotoide tiene multitud de aplicaciones.
La más destacada es el diseño de carreteras y vías ferroviarias. Gracias a sus características, la seguridad del vehículo aumenta notablemente. La curva permite adaptarse al conductor de una forma suave al cambio de trayectoria, por lo que la curva se puede tomar a mayor velocidad.
Otro campo en el que se aplica la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Al construir los bucles verticales con la forma de la curva, la fuerza G se ve reducida, evitando causar daños físicos a los usuarios de la atracción.
1.7.1 Imágenes de estructuras
La clotoide está presente en múltiples situaciones de nuestra vida cotidiana.
2 Superficie reglada. La hélice
Consideramos la hélice de [math] \mathbb{R}^3 [/math], que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como
2.1 Dibujo de la superficie
dibujamos la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director [math] \vec e_{p} [/math]
u=linspace(0,1,100);
v=linspace(0,4*pi,100);
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
Mx=cos(Mv)+(Mu.*cos(Mv));
My=sin(Mv)+(Mu.*sin(Mv));
Mz=Mv;
surf(Mx,My,Mz)
shading flat
Un ejemplo de superficie reglada es:
2.2 Masa de la superficie reglada
Suponemos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función: [math] f(x_{1},x_{2},x_{3})=10-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} [/math]
La masa será igual a: [math] \int_{\phi }f=\int\int f(\phi (u,v))\left |\phi _{u} \times \phi _{v} \right |dvdu [/math]
- La parametrización [math] \phi (u,v) [/math] de la superficie es igual a:
[math] x=cosv+u\cdot cosv [/math]
[math] y=sinv+u\cdot sinv [/math]
[math] z=v [/math]
Para [math] u \epsilon [0,1] [/math] y [math] v \epsilon [0,4 \pi] [/math]
- Módulo de los vectores velocidad
Obtenemos los vectores velocidad [math] \phi _{u}=cosv\vec i+ senv\vec j [/math] y [math] \phi _{v}=(-senv-u\cdot senv)\vec i + (cosv+u\cdot cosv)\vec j + \vec k [/math] a partir de la parametrización, y calculamos el módulo de su producto vectorial:
- Densidad en función de la parametrización
[math] f(\phi (u,v))= 10- (cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=9-u^{2}+2u [/math]
- Cálculo de la masa
masa= [math] \int_{u=0}^{u=1}\int_{v=0}^{v=4 \pi} (9-u^{2}+2u)\cdot (1+u) dvdu= \frac{175}{3}\pi=183,26 [/math]
3 Bibliografía
La Documentación utilizada para la realización de este trabajo es la siguiente:
https://www.abc.es/ciencia/abci-clotoide-famosa-curva-hace-segura-carretera-201909210146_noticia.html?ref=https%3A%2F%2Fwww.abc.es%2Fciencia%2Fabci-clotoide-famosa-curva-hace-segura-carretera-201909210146_noticia.html
https://trazoide.com/clotoide/
https://www.ingenieros-civiles.es/actualidad/actualidad/1/1192/ingenieria-civil-para-dummies-que-son-las-clotoides
https://www.microsiervos.com/archivo/ingenieria/loopings-montanas-rusas-circulares-clotoides-fuerzas-g.html
