Diferencia entre revisiones de «Cicloide (grupo del Retiro)»

Revisión del 17:26 12 dic 2023

1 Introducción

La cicloide se puede describir como el recorrido/trayectoria que sigue un punto de una circunferencia cuando esta rueda a lo largo de una línea recta sin deslizamiento. Esto quiere decir que hay infinidad de cicloides, es decir, dependiendo del tamaño del radio de la circunferencia dependerá el tamaño del cicloide. ¿Y qué pasaría si la circunferencia no da la vuelta completa? Pues esto solo trazaría parte de la cicloide, es decir si la circunferencia recorre media vuelta, π radianes, solo se trazará media cicloide. Después de estas 2 observaciones podemos afirmar que una cicloide depende del radio de la circunferencia y el ángulo (las vueltas que esté de). Es decir que esto nos da las ecuaciones paramétricas de una cicloide, que a posteriori podemos modificar para tener.

     x=rθ-rsinθ
     y=r-rcosθ
  Despejando Theta obtenemos:

Figura 1: Ecuación de la cicloide, cuyo ángulo ha sido despejado.

2 Representación de la Curva

Figura 2: La Cicloide

La curva generada con el código de MATLAB:

1 t=linspace(0,2*pi,100);
2 x=t-sin(t);
3 y=1-cos(t);
4 
5 % Cicloide
6 plot(x,y,'r')
7 xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
8 xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
9 xlim([0 2*pi])
10 ylim([0 2*pi])
11 title('Cicloide')

3 Los vectores de velocidad y aceleración de la Cicloide

Figura 3: Cicloide, velocidades y aceleraciones

Los vectores representados con la curva en código de MATLAB:

1 T=linspace(0,2*pi,50);
2 P=0:pi/6:2*pi;
3 x=T-sin(T);
4 y=1-cos(T);
5 j=P-sin(P);
6 a=1-cos(P);
7 b=sin(P);
8 c=cos(P);
9
10 %Representación gráficas
11 hold on
12 plot(x,y,'k')
13 xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
14 xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
15 quiver(j,a,a,b)
16 quiver(j,a,b,c,'b')
17 xlim([-0.33 6.5])
18 ylim([-0.33 4])
19 title('Cicloide, velocidades y aceleraciones')
20 hold off

4 La Longitud de la Cicloide

Teniendo en cuenta los límites del paramtro t, la parametrización de la curva y las derivadas de x e y respecto de t:

0≤t≤2*π
x=t-sin(t)
y=1-cos(t)
dx/dt=1-cos(t)
dy/dt=sin(t)

Y también que la longitud de una curva culquiera=ʃ_t=a^t=b((dx/dt)²+(dy/dt)²)^1/2 dt, calcularemos la longitud de la curva:

Longitud de la cicloide=ʃt=0t=2*π((1-cos(t))²+(sin(t))²)^1/2 dt = ʃt=0t=2*π(1+cos²(t)-2cos(t)+sin²(t))^1/2 dt = *como sabemos que cos²(t)+sin²(t)=1, sustituimos, por tanto*=
= ʃt=0t=2*π(2-2cos(t))^1/2 dt = *sacamos factor común de √2, entonces* = √2ʃt=0t=2*π(1-cos(t))^1/2 dt = *multiplicamos y dividimos por (1+cos(t))^1/2, el conjugado* =
= √2ʃt=0t=2*π((1-cos(t))^1/2)*((1+cos(t))^1/2)/((1+cos(t))^1/2) dt = √2ʃt=0t=2*π((1-cos²(t))^1/2)/((1+cos(t))^1/2) dt = *sin²=1-cos²(t)* = √2ʃt=0t=2*π((sin²(t))^1/2)/((1+cos(t))^1/2) dt =
= √2ʃt=0t=2*π|sin(t)|/((1+cos(t))^1/2) dt = *separamos la integral debido al valor absoluto* = √2*(ʃt=0t=πsin(t)/((1+cos(t))^1/2) dt + ʃt=πt=2*πsin(t)/((1+cos(t))^1/2) dt) = *resolvemos* =
= √2*[(-2*(1+cos(t))^1/2)t=0t=π + (2*(1+cos(t))^1/2)t=πt=2*π] = √2*[-2*((1+cos(π))^1/2-(1+cos(0))^1/2) + 2*((1+cos(2*π))^1/2-(1+cos(π))^1/2)] =
= √2*[-2*(0-√2) + 2*(√2-0)]------>Longitud de la cicloide = 8 unidades.

5 Los vectores de tangentes y normales de la Cicloide

Figura 4: Cicloide, vectores tangentes y normales

Los vectores representados con la curva en código de MATLAB:

1 T=linspace(0,2*pi,50);
2 P=0:pi/6:2*pi;
3 x=T-sin(T);
4 y=1-cos(T);
5 j=P-sin(P);
6 a=1-cos(P);
7 b=sin(P);
8 
9 %Representación gráficas
10 hold on
11 plot(x,y,'k')
12 quiver(j,a,a,b)
13 quiver(j,a,-b,a,'b')
14 xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
15 xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
16 xlim([-0.5 6.8])
17 ylim([-0.5 4.5])
18 title('Cicloide, vectores tangentes y normales')
19 hold off

6 La Curvatura de la Cicloide

7 La Circunferencia Osculatriz de una Cicloide

Para hallar la Circunferencia Osculatriz, tenemos que primero hallar el radio y luego el punto en el que se encuentra el centro de dicha circunferencia.

El radio es el inverso de la curvatura en valor absoluto, es decir:

|\frac{[(1-cos⁡(φ))^2+sin^2⁡(φ)]^(3⁄2)}{((co s⁡(φ)-〖cos〗^2 (φ))+(⁡sin^2 (φ)))}|

y el centro se encuentra tangente al vector normal a la misma distancia del radio en el punto de la curva donde φ=0.3, es decir:

Figura 5: La Circunferencia Osculatriz

La circunferencia osculatriz cuando φ=0.3:

t=linspace(0,2*pi,1000);
xcic=t-sin(t);
ycic=1-cos(t);
T=0.3;
K=-((sqrt(2-2.*cos(T)))./(4.*(1-cos(T))));
R=1/abs(K);
x=T-sin(T);
y=1-cos(T);
v=[x;y];
n=[sin(T);-1+cos(T)];
mod=sqrt((sin(T)).^2+(-1+cos(T)).^2);
N=n/mod;
C=v+R.*N;
xunit = R * cos(t)+C(1);
yunit = R * sin(t)+C(2);
hold on
plot(xcic,ycic,'r')
plot(xunit, yunit,'b');
xticks([0 pi()/2 pi() 3*pi()/2 2*pi()])
xticklabels({'0' '\pi/2' '\pi' '3\pi/2' '2\pi'})
xlim([0 2*pi]);
ylim([-2 4]);
hold off

8 La Cicloide en R³

9 La Masa de una Cicloide como superficie

10 Cicloides en el mundo real