Diferencia entre revisiones de «Circuitos eléctricos RL (grupo 12)»

Revisión del 22:34 2 mar 2013

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

 [math]i(t)={V(t)\over R}[/math]

• En un inductor L la Ley de Faraday dice:

[math] V(t)=L\cdot i'(t)[/math] Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina. Las leyes de Kirchoff dicen:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.

1 Ecuación diferencial

2 Apartado 2

Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.

2.1 Cálculo analítico

Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

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t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

2.2 Método de Euler

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo h y observando que por este método la h, es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.

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E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa

2.3 Método del trapecio

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).

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R=5; L=0.2; E=10; 
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
    tn=t0+h*n;
    t(n+1)= tn+h;
    ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
    i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')

3 Apartado 3

Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.

3.1 Resolución

Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior. Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.

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E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')

En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.

4 Apartado 4

El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchof

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)[/math]

[math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math]

Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?

4.1 Resolución

4.1.1 Interpretación de las ecuaciones

La primera ecuación [math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math] corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$.

La segunda ecuación [math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)[/math] corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$.

La última ecuación [math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math] corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).

4.1.2 Reescritura del sistema

Podemos escribir este sistema en términos de $I_{2}(t)$ e $I_{3}(t)$, usando la tercera ecuación ysustituyendo en las dos primeras
[math] E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]
[math] E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) [/math]

Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}$ serían cero.
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.