Revisión del 18:53 28 nov 2023

1 Introducción

[Intro]

1.1 Definición

Se define la clicoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)[/math].

Donde

[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]

[math]I[/math] es el intervalo de [math]a[/math] hasta [math]b[/math]

[math]a,b∈\mathbb{R}[/math]

1.2 Interpretación

La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

Figura 1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R

2 Representación de la curva

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: [math]R=1, a=0, b=2\pi[/math]. Por tanto, la curva se expresa según:

[math] \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t)))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Vemos que

Si[math]\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}[/math]

[math]\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}[/math]

Si[math]\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}[/math]

[math]\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}[/math]

2.1 Código

Figura 2: Representación gráfica de la curva.

%Trayectoria
a=0;b=2*pi(); 
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

3 Vectores Velocidad y Aceleración

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función [math]γ(t)[/math], según la expresión:

[math] γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo según

[math] |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:

[math] γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo vale

[math] |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1[/math]

Por tanto, para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando [math]t=0,2\pi,...[/math]

3.1 Código

Figura 3: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración

%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

Como se puede observar en la Figura 3, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, [math]t=0,2\pi,...[/math], la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo

[math] γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0[/math]

Cuando P está en el punto más alto,[math]t=\pi[/math], la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.

[math] γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i[/math]

4 Longitud de la curva

El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:

[math] \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt [/math]

Si [math]f(γ(t))=1, \;[/math] entonces

[math]Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt[/math]

Sustituyendo se tiene que

[math]Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt [/math]

4.1 Aproximación de la integral

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio^[1].

4.1.1 Código

Figura 4: Representación gráfica de la integral y de la curva

%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200;                            %Número de puntos
a=0; b=2*pi();                    %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N;                        %Paso
t=a:h:b;                          %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))';        %Función
w=ones(N+1,1);                    %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f                     %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5)   %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);                        
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")                     

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

5 Vectores Tangentes y Normales

Figura 5: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior

Figura 6: Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior

Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por [math]\gamma(t)[/math], por tanto, para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,

[math] \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo [math]\frac{\pi}{2}[/math] los vectores tangentes. En [math]\mathbb{R}^2[/math] esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 5 y 6). La expresión de los vectores normales según la orientación es:

Orientación interior [math]\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Orientación exterior [math]\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

5.1 Código

%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º 
n1=-t2;  % -t2 Or. Ext.  t2 Or. Int.
n2=t1;   %  t1 Or. Ext. -t1 Or. Int


%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

6 Curvatura

Figura 7: Curvatura en función del ángulo girado.

Se define la curvatura de [math]\gamma(t)[/math] como la función escalar [math]\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}[/math] tal que

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^\frac{3}{2}}[/math]

Sustituyendo

[math]\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{((1-\cos(t))^2+\sin(t)^2)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos(t)^2-\sin(t)^2}{(1+\cos(t)^2-2\cos(t)+\sin(t)^2)^\frac{3}{2}}=[/math]

[math]=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}[/math]

Se observa que

Si[math]\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}[/math]entonces

[math]\kappa(0)=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\propto=-\propto[/math]

Y

Si[math]\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}[/math]entonces

[math]\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}[/math]

El radio de curvatura asociado será

[math]R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4[/math]

6.1 Código

%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi();  %Límites
t=linspace(a,b,100);     %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on

7 Circunferencia osculatriz

Figura 8: Circunferencia osculatriz para t=0.3.

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

[math]R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}}[/math]

Operando se obtiene

[math]R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=2\sqrt{2}.\sqrt{(1-\cos(t)}[/math]

Se observa que

Si[math]\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}[/math]entonces

[math]R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=0\hspace{1cm}[/math].

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

[math]R.\vec n(t) = \frac{-\sqrt{2}}{4.\sqrt{(1-\cos(t)}}.\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} =[/math]

[math]=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{4.(1-\cos(t))}[/math]

1. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

[math]\gamma(t) + R.\vec n(t)=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{4.(1-\cos(t))}[/math]

7.1 Código

%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

8 Bibliografía

Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales

Mathworks. Help Center

8.1 Referencias

1. ↑ Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida